Равномерная непрерывность: различия между версиями
| [непроверенная версия] | [непроверенная версия] |
Содержимое удалено Содержимое добавлено
Строка 31:
=== Некоторые признаки равномерной непрерывности функции ===
# [[Теорема о равномерной непрерывности]] ([[Кантор, Георг|Кантор]]): функция, непрерывная на [[Отрезок|отрезке]] (или на любом компакте), равномерно непрерывна на нём.
# Сумма, разность и [[Композиция функций|композиция]] равномерно непрерывных функций равномерно непрерывны<ref name=ME/>. Однако произведение равномерно непрерывных функций может не быть равномерно непрерывно. Контрпример{{sfn |Шибинский|2007|с=528 (пункт 2.7)}}: пусть <math>f(x)=x;\ g(x)=\ln(x).</math> Обе функции равномерно непрерывны при <math>x \geqslant 1</math>, но их произведение не является равномерно непрерывным на <math>[1, +\infty)</math>. Для ограниченного промежутка произведение равномерно непрерывных функций всегда равномерно непрерывно<ref name=BUT11/>.
# Если функция <math>f(x)</math> определена и непрерывна на <math>[a,+\infty)</math> и существует конечный предел <math>\lim_{x \to +\infty} f(x)</math>, то функция равномерно непрерывна на <math>[a,+\infty)</math>. Другими словами, функция, определённая на бесконечном полуинтервале, может быть не равномерно непрерывной только если её предел в бесконечности не существует или бесконечен{{sfn |Бутузов и др.|с=6}}.
| |||