Участник:Jumpow/Песочница: различия между версиями

Нет описания правки
 
== Алгебраическая структура ==
Пусть <math>{\mathcal F}(X,{\mathbb R})</math> обозначает множество всех функций, отображающих [[Множество|множество]] {{mvar|X}} в вещественные числа <math>\mathbb R</math>. Поскольку <math>\mathbb R</math> является [[Поле (алгебра)|полем]], <math>{\mathcal F}(X,{\mathbb R})</math> может быть превращено в [[Векторноевекторное пространство]] с [[Ассоциативная алгебра|коммутативной алгеброй]] со следующими операциями:
*<math>f+g: x \mapsto f(x) + g(x)</math> – [[Вектор (геометрия)|сложение векторов]]
*<math>\mathbf{0}: x \mapsto 0</math> – [[нулевой элемент]]
*<math>f g: x \mapsto f(x)g(x)</math> – [[Поточечная операция|поточечное]] умножение
 
Эти операции распространяются на {{не переведено 5|Частично определённая функция|частично определённые функции||partial function}} из {{mvar|X}} в <math>\mathbb R,</math> с ограничением, что частично определённые функции {{<math|''>f'' + ''g''}}</math> andи {{<math|''f'' ''g''}}>fg</math> определены только в случае, когда [[Область определения функции|области определения]] {{mvar|f}} и {{mvar|g}} имеют непустое пересечение. В этом случае областью определения этих функций служит пересечение областей определения {{mvar|f}} и {{mvar|g}}.
 
Также, поскольку <math>\mathbb R</math> является упорядоченным множеством, имеется [[Частично упорядоченное множество|частичное упорядочение]]
[[Сигма-алгебра|<math>\Sigma</math>-алгебра]] [[Борелевская сигма-алгебра|борелевских множеств]] является важной структурой на вещественных числах. Если {{mvar|X}} имеет <math>\sigma</math>-алгебру и функция {{mvar|f}} такова, что [[прообраз]] {{math|''f'' <sup>−1</sup>(''B'')}} любого борелевского множества {{mvar|''B''}} принадлежит этой <math>\sigma</math>-алгебре, то говорят, что функция {{mvar|f}} [[Измеримая функция|измеримая]]. Измеримые функции образуют также векторное пространство с алгеброй, описанной [[#Алгебраическая структура|выше]].
 
Более того, множество (семейство) вещественнозначных функций на {{mvar|X}} можно, фактически, ''определить'' <math>\sigma</math>-алгебру на {{mvar|X}} как все прообразы борелевских множеств (или только [[Промежуток (математика)|промежутков]], это не столь существенно). Это способ, которым <math>\sigma</math>-алгебры появляются в [[Теория вероятностей| Теория вероятностей|теории вероятностей]] ([[Аксиоматика Колмогорова|Колмоггоровскойколмоггоровской]]), где вещественнозначные функции на [[Пространство элементарных событий|пространстве элементарных событий]] {{math|&Omega;}} являются вещественнозначными [[Случайная величина|случайными величинами]].
 
== Непрерывность ==
Вещественные числа образуют [[топологическое пространство]] и [[полное метрическое пространство]]. [[Непрерывная функция|Непрерывные]] вещественнозначные функции (что предполагает, что {{mvar|X}} является топологическим пространством) имеют важное значение в теориях [[Общая топология|топологических пространств]] и [[Метрическое пространство|метрических пространств]]. [[Теорема Вейерштрасса о функции на компакте|Теорема об экстремальных значениях]] утверждает, что любая вещественная непрерывная функция на [[Компактное пространство|компактном пространстве]] имеет [[Экстремум|максимум или минимум]].
 
Концепция [[Метрическое пространство|метрического пространства]] сама по себе определяется с вещественнозначной функцией от двух переменных, непрерывной ''[[Метрическое пространство|метрики]]'', которая непрерывна. Пространство {{не переведено 5|Непрерывные функции на компактном хаусдорховом пространстве|непрерывных функций на компактном хаусдорховом пространстве||continuous functions on a compact Hausdorff space}} имеет особую важность. [[Предел последовательности|Пределы последовательностей]] можно также рассматривать как вещественнозначные непрерывные функции на специальном топологическом пространстве.
 
Непрерывные функции образуют также векторное пространство c алгеброй, представленной [[#Алгебраическая структура|выше]], и являются подклассом [[#Measurable|измеримых функций]], поскольку любое топологическое пространство имеет <math>\sigma</math>-алгебру, образованную открытыми (или замкнутыми) множествами.
 
== В теории меры ==
[[Мера множества|Мера]] множества — это [[Знак (математика)|неотрицательный]] вещественнозначный функционал на <math>\sigma</math>-алгебре подмножеств<ref>Фактически, мера может иметь значения в <math>[0,+\infty]</math>: см. [[Расширенная числовая прямая]].</ref>. [[Lp (пространство)|<math>\mathrm{L}^p</math> пространства]] на множествах с мерой определяются из упомянутых выше [[#Measurable|вещественнозначных измеримых функций]], хотя они, на самом деле, являются [[Факторпространство|факторпространствами]]. Более точно, принимая в внимание, что функция, удовлетворяющая подходящиеподходящим [[Интеграл|условияусловиям суммируемости]], определяет элемент пространства <math>\mathrm{L}^p</math>. В обратном направлении, для любой функции <math>f \in \mathrm{L}(X)</math> и точки <math>x \in X</math>, не являющейся [[Атом (теория меры)|атомом]], значение {{math|''f''(''x'')}} {{не переведено 5|Вполне определено|не определено||well-definition}}. Однако, вещественнозначные <math>\mathrm{L}^p</math> пространства по-прежнему имеют некоторые из структур, описанных [[#Алгебраическая структура|above]]. Каждое из <math>\mathrm{L}^p</math> пространств является векторным пространством, имеет частичный порядок и существует поточечное умножение «функций», которое меняет {{mvar|p}}, а именно
:<math>\sdot: L^{1/\alpha} \times L^{1/\beta} \to L^{1/(\alpha+\beta)},\quad
0 \leqslant \alpha,\beta \leqslant 1,\quad\alpha+\beta \leqslant 1.</math>