Википедия

Участник:Jumpow/Песочница: различия между версиями

Интерактивная навигация по истории
← Предыдущая правкаСледующая правка →
Содержимое удалено Содержимое добавлено
ВизуальныйВики-текст
Нет описания правки
Нет описания правки
Строка 1:
[[Файл:Codomain2.SVG|thumb|upright=1.5|''f'' — это функция из области определения ''X'' в кодомен ''Y''. Жёлтый овал внутри ''Y'' — это образ функции ''f''.]]
[[Файл:Weights 20mg~500g.jpg|thumb|right|[[Масса]], измеренная в [[грамм]]ах, является функцией от такого набора гирь с [[Знак (математика)|положительнымм]] вещественными числами. Термин «[[весовая функция]]», являющийся косвенным указанием на этот пример, используется в чистой и прикладной математике.]]
'''Вещественнозначная функция''' — это [[Функция (математика)|функция]], [[Область значений функции|значениями]] которой являются [[Вещественное число|вещественные числа]]. Другими словами, это функция, которая назначает вещественное число каждому члену [[Область определения функции|области определения]] функции.
 
'''Образ''' [[Функция (математика)|функции]] — это множество всех значений, которые функция может дать.
Вещественнозначные {{не переведено 5|Функция вещественной переменной|функции вещественной переменной||function of a real variable}} (обычно называемые ''вещественными функциями'') и вещественнозначные {{не переведено 5|функции нескольких вещественных переменных|||functions of several real variables}} являются основным объектом изучения в [[Математический анализ|математическом анализе]] и, более конкретно, в [[Теория функций вещественной переменной|теории функций вещественной переменной]]. В частности, многие {{не переведено 5|Функциональное пространство|функциональные пространства||Function space}} состоят из вещественнозначных функций.
 
Более обще, вычисление значения для заданной функции ''f'' для каждого элемента заданного подмножества ''A'' [[Область определения функции|области определения]] функции даёт множество, называемое «'''образом''' ''A'' для функции ''f''». Аналогично, '''обратный образ''' (или '''прообраз''') заданного подмножества ''B'' [[Область определения функции|кодоменп]] функции ''f'', — это множество всех элементов области определения, которые отображаются в элементы множества ''B''.
== Алгебраическая структура ==
Пусть <math>{\mathcal F}(X,{\mathbb R})</math> обозначает множество всех функций, отображающих [[Множество|множество]] {{mvar|X}} в вещественные числа <math>\mathbb R</math>. Поскольку <math>\mathbb R</math> является [[Поле (алгебра)|полем]], <math>{\mathcal F}(X,{\mathbb R})</math> может быть превращено в [[векторное пространство]] с [[Ассоциативная алгебра|коммутативной алгеброй]] со следующими операциями:
*<math>f+g: x \mapsto f(x) + g(x)</math> – [[Вектор (геометрия)|сложение векторов]]
*<math>\mathbf{0}: x \mapsto 0</math> – [[нулевой элемент]]
*<math>c f: x \mapsto c f(x),\quad c \in \mathbb R</math> – [[скаляр]]
*<math>f g: x \mapsto f(x)g(x)</math> – [[Поточечная операция|поточечное]] умножение
 
Образ и обратный образ могут также быть определены для общих [[Бинарное отношение# Операции над отношениями|бинарных отношений]], не просто функций.
Эти операции распространяются на {{не переведено 5|Частично определённая функция|частично определённые функции||partial function}} из {{mvar|X}} в <math>\mathbb R,</math> с ограничением, что частично определённые функции <math>f + g</math> и <math>fg</math> определены только в случае, когда [[Область определения функции|области определения]] {{mvar|f}} и {{mvar|g}} имеют непустое пересечение. В этом случае областью определения этих функций служит пересечение областей определения {{mvar|f}} и {{mvar|g}}.
 
== Определение ==
Также, поскольку <math>\mathbb R</math> является упорядоченным множеством, имеется [[Частично упорядоченное множество|частичное упорядочение]]
Слово "образ" используется тремя связанными способами. В этих определениях <math>f\colon X \to Y</math> — это [[Функция (математика)|функция]] из [[Множество|множества]] ''X'' в множество ''Y''.
*<math>\ f \leqslant g \quad\iff\quad \forall x: f(x) \leqslant g(x),</math>
в <math>{\mathcal F}(X,{\mathbb R}),</math>, что делает <math>{\mathcal F}(X,{\mathbb R}) </math> [[Частично упорядоченное кольцо|частично упорядоченным кольцом]].
 
=== Образ элемента ===
== Измеримость ==
Если ''x'' является элементом множества ''X'', то образ элемента ''x'' для функции ''f'', обозначаемый ''f''(''x''){{r|MV}}, — это значение функции ''f'' для аргумента ''x.''.
{{См. также|Борелевская функция}}
[[Сигма-алгебра|<math>\Sigma</math>-алгебра]] [[Борелевская сигма-алгебра|борелевских множеств]] является важной структурой на вещественных числах. Если {{mvar|X}} имеет <math>\sigma</math>-алгебру и функция {{mvar|f}} такова, что [[прообраз]] {{math|''f'' <sup>−1</sup>(''B'')}} любого борелевского множества {{mvar|''B''}} принадлежит этой <math>\sigma</math>-алгебре, то говорят, что функция {{mvar|f}} [[Измеримая функция|измеримая]]. Измеримые функции образуют также векторное пространство с алгеброй, описанной [[#Алгебраическая структура|выше]].
 
=== Образ подмножества ===
Более того, множество (семейство) вещественнозначных функций на {{mvar|X}} можно, фактически, ''определить'' <math>\sigma</math>-алгебру на {{mvar|X}} как все прообразы борелевских множеств (или только [[Промежуток (математика)|промежутков]], это не столь существенно). Это способ, которым <math>\sigma</math>-алгебры появляются в [[Теория вероятностей|теории вероятностей]] ([[Аксиоматика Колмогорова|колмоггоровской]]), где вещественнозначные функции на [[Пространство элементарных событий|пространстве элементарных событий]] {{math|&Omega;}} являются вещественнозначными [[Случайная величина|случайными величинами]].
Образ подмножества <math>A \subseteq X</math> для функции ''f'', обозначаемый <math>f[A]</math>, является подмножеством множества ''Y'', которое может быть определено с помощью следующей [[Форма записи множества|формы записи]]{{r|LT}}:
 
:<math>f[A] = \{ f(x) \mid x \in A \}</math>
== Непрерывность ==
Вещественные числа образуют [[топологическое пространство]] и [[полное метрическое пространство]]. [[Непрерывная функция|Непрерывные]] вещественнозначные функции (что предполагает, что {{mvar|X}} является топологическим пространством) имеют важное значение в теориях [[Общая топология|топологических пространств]] и [[Метрическое пространство|метрических пространств]]. [[Теорема Вейерштрасса о функции на компакте|Теорема об экстремальных значениях]] утверждает, что любая вещественная непрерывная функция на [[Компактное пространство|компактном пространстве]] имеет [[Экстремум|максимум или минимум]].
 
Если нет риска путаницы, <math>f[A]</math> записывается просто как <math>f(A)</math>. Это соглашение является общепринятым. Предполагаемый смысл должен быть определён из контекста. Это делает ''f''[.] функцией, [[Область определения функции|областью определения]] которой является [[Булеан|степень множества]] множества ''X'' (множество всех [[Подмножество|подмножеств]] множества ''X''), а [[Область значений функции|кодоменом]] которой является степень множества ''Y''. См. раздел {{Section link||Обозначения}}.
Концепция [[Метрическое пространство|метрического пространства]] сама по себе определяется с вещественнозначной функцией от двух переменных, непрерывной ''[[Метрическое пространство|метрики]]''. Пространство {{не переведено 5|Непрерывные функции на компактном хаусдорховом пространстве|непрерывных функций на компактном хаусдорховом пространстве||continuous functions on a compact Hausdorff space}} имеет особую важность. [[Предел последовательности|Пределы последовательностей]] можно также рассматривать как вещественнозначные непрерывные функции на специальном топологическом пространстве.
 
=== Образ функции ===
Непрерывные функции образуют также векторное пространство c алгеброй, представленной [[#Алгебраическая структура|выше]], и являются подклассом [[#Measurable|измеримых функций]], поскольку любое топологическое пространство имеет <math>\sigma</math>-алгебру, образованную открытыми (или замкнутыми) множествами.
''Образ'' функции — это образ всей [[Область определения функции|области определения]], известный также как [[Область значений функции|область значений]] функции{{r|MW}}.
 
=== Обобщение к бинарным отношениям ===
== Гладкость ==
Если ''R'' является произвольным [[Бинарное отношение|бинарным отношением]] на ''X''[[Прямое произведение|<math>\times</math>]]''Y'', то множество <math>\{ y \in Y \| xRy, x \in X \}</math> называется образом отношения ''R''. Множество <math>\{ x\in X | xRy, y \in Y\}</math> называется областью определения отношения ''R''.
{{основная статья|Гладкая функция}}
Вещественные числа используются в качестве [[Область значений функции|кодомена]] для определения гладких функций. Область определения вещественной гладкой функции может быть вещественным координатным пространством (что даёт {{не переведено 5|функции нескольких вещественных переменных|||real multivariable function}}), [[Топологическое векторное пространство|топологическим векторным пространством]],<ref>Существует другое определение [[Производная функции|производной]] в общем случае, но для конечных [[Конечномерное пространство|размерностей]] оно приводит к эквивалентному определению классов гладких функций.</ref> его [[Открытое множество|открытым подмножеством]], или [[Гладкое многообразие|гладким многообразием]].
 
== Оратный образ ==
Пространства гладких функций являются также векторными пространствами с алгебрами, описанными [[#Алгебраическая структура|выше]], и являются подклассами [[#Непрерывность|непрерывных функций]].
Пусть ''f'' будет функцией из ''X'' в ''Y''. '''Прообраз''' или '''обратный образ''' множества <math>B \subseteq Y</math> для функции ''f'', обозначаемый <math>f^{-1}[B]</math>, —это подмножество ''X'' определённое как
 
:<math>f^{-1}[ B ] = \{ x \in X \, | \, f(x) \in B \}.</math>
== В теории меры ==
[[Мера множества|Мера]] множества — это [[Знак (математика)|неотрицательный]] вещественнозначный функционал на <math>\sigma</math>-алгебре подмножеств<ref>Фактически, мера может иметь значения в <math>[0,+\infty]</math>: см. [[Расширенная числовая прямая]].</ref>. [[Lp (пространство)|<math>\mathrm{L}^p</math> пространства]] на множествах с мерой определяются из упомянутых выше [[#Measurable|вещественнозначных измеримых функций]], хотя они, на самом деле, являются [[Факторпространство|факторпространствами]]. Более точно, принимая в внимание, что функция, удовлетворяющая подходящим [[Интеграл|условиям суммируемости]], определяет элемент пространства <math>\mathrm{L}^p</math>. В обратном направлении, для любой функции <math>f \in \mathrm{L}(X)</math> и точки <math>x \in X</math>, не являющейся [[Атом (теория меры)|атомом]], значение {{math|''f''(''x'')}} {{не переведено 5|Вполне определено|не определено||well-definition}}. Однако, вещественнозначные <math>\mathrm{L}^p</math> пространства по-прежнему имеют некоторые из структур, описанных [[#Алгебраическая структура|above]]. Каждое из <math>\mathrm{L}^p</math> пространств является векторным пространством, имеет частичный порядок и существует поточечное умножение «функций», которое меняет {{mvar|p}}, а именно
:<math>\sdot: L^{1/\alpha} \times L^{1/\beta} \to L^{1/(\alpha+\beta)},\quad
0 \leqslant \alpha,\beta \leqslant 1,\quad\alpha+\beta \leqslant 1.</math>
Например, поточечное произведение двух L<sup>2</sup> функций принадлежит L<sup>1</sup>.
 
Другие обозначения include <math>f^{-1}(B)</math>{{r|CL}} и <math>f^-(B)</math>.{{sfn|Dolecki|Mynard | 2016 | pp=4-5}}
== Другие приложения ==
Обратный образ [[Синглетон (математика)|синглтона]], обозначаемый <math>f^{-1}[\{y\}]</math> or by <math>f^{-1}[y]</math>, также называется [[Расслоение|слоем]] over ''y'' или [[Множество уровня|множеством уровня]] элемента ''y''. Множество всех слоёв для элементов ''Y'' — это семейство подмножеств, индексированных элементами ''Y''.
Другие контексты, где используются вещественнозначные функции и их свойства, это [[Монотонная функция|монотонные функции]] (на [[Линейно упорядоченное множество|упорядоченных множествах]]), [[Выпуклая функция|выпуклые функции]] (на векторных и [[Аффинное пространство|аффинных пространствах]]), [[Гармоническая функция|гармонические]] и [[Субгармоническая функция|субгармонические]] функции (на [[Риманово многообразие|римановых многообразиях]]), [[Аналитическая функция|аналитические функции]] (обычно от одной и более вещественных переменных), [[Алгебраическая функция|алгебраические функциии]] (на вещественных [[Алгебраическое многообразие|алгебраических многообразиях]]) и [[многочлен]]ы (от одной и более переменных).
 
Например, для функции <math>f(x) = x^2</math> обратным образом {4} будет {−2, 2}. Снова, если нет риска путаницы, <math>f^{-1}[B]</math> может обозначаться как <math>f^{-1}(B)</math>, а <math>f^{-1}</math> можно рассматривать как функцию из the power set of ''Y'' to the power set of ''X''. Обозначение <math>f^{-1}</math> не следует путать с [[Обратная функция|обратной функции]], хотя оно и согласуется с обычной обратной функцией для биекций том, что обратный образ of ''B'' для ''f'' является образом ''B'' для <math>f^{-1}</math>.
 
==<span id="Notation">Notation</span> для образа и обратного образа ==
Традиционные обозначения, использованные в предыдущих разделах, могут запутать. Альтернативой{{sfn|Blyth|2005|p=5}} является задание явных имён для образа и прообраза функций между power sets:
 
=== Стрелочные обозначения ===
* <math>f^\rightarrow:\mathcal{P}(X)\rightarrow\mathcal{P}(Y)</math> with <math>f^\rightarrow(A) = \{ f(a)\;|\; a \in A\}</math>
* <math>f^\leftarrow:\mathcal{P}(Y)\rightarrow\mathcal{P}(X)</math> with <math>f^\leftarrow(B) = \{ a \in X \;|\; f(a) \in B\}</math>
 
=== Обозначения со звёздочками ===
* <math>f_\star:\mathcal{P}(X)\rightarrow\mathcal{P}(Y)</math> instead of <math>f^\rightarrow</math>
* <math>f^\star:\mathcal{P}(Y)\rightarrow\mathcal{P}(X)</math> instead of <math>f^\leftarrow</math>
 
=== Другая терминология ===
* Альтернативные обозначения <math>f[A]</math>, использумые в [[Математическая логика|математической логике]] и [[Теория множеств|теории множеств]], это <math>f''A</math>{{sfn|Rubin|1967}}{{r|RH}}
* Некоторые книги называют образ ''f'' областью значений ''f'', но этого следует избегать, поскольку термин "область значений" используется широко также для обозначения [[Область значений функции|кодомена]] функции ''f''.
 
== Примеры ==
# <math>f\colon \{1, 2, 3\} \to \{a, b, c, d\}</math> defined by <math>
f(x) = \left\{\begin{matrix}
a, & \mbox{if }x=1 \\
a, & \mbox{if }x=2 \\
c, & \mbox{if }x=3.
\end{matrix}\right.
</math>{{Абзац}} ''Образом'' множества {2, 3} для функции ''f'' является <math>f(\{2, 3\}) = \{a, c\}</math>. ''Образ'' функции ''f'' — это {''a, c''}. ''Прообразом'' ''a'' является <math>f^{-1}(\{a\}) = \{1, 2\}</math>. ''Прообразом'' множества <math>\{a, b\}</math> также является {1, 2}. Прообразом множества <math>\{b, d\}</math> является [[пустое множество]] {}.
# <math>f\colon \mathbf{R} \to \mathbf{R}</math> defined by <math>f(x) = x^2</math>.{{Абзац}} ''Образ'' {−2, 3} для функции ''f'' — это <math>f(\{-2, 3\}) = \{4, 9\}</math>, а ''образ'' функции ''f'' — это <math>\mathbf{R}^+</math>. ''Прообраз'' {4, 9} для ''f'' — это <math>f^{-1}(\{4, 9\}) = \{-3, -2, 2, 3\}</math>. Прообраз множества <math>N = \{n \in \mathbf{R} \| n < 0\}</math> under ''f'' — это пустое множество, поскольку отрицательные числа не имеют квадратных корней вс множестве вещественных чисел.
# <math>f\colon \mathbf{R}^2 \to \mathbf{R}</math> defined by <math>f(x, y) = x^2 + y^2</math>.{{абзац}} [[Расслоение|''Слои'']] <math>f^{-1}(\{a\})</math> являются [[Концентричные объекты|концентричными окружностями]] вокруг [[Начало координат|начала координат]], только точки начала координат и [[Пустое множество|пустого множества]], в зависимости от того, ''a'' > 0, ''a'' = 0 или ''a'' < 0 соответственнно.
# Если ''M'' — это [[Многообразие|многообразие]], а <math>\pi: TM \to M</math> — это каноническая [[Проекция (геометрия)|проекция]] из [[Касательное расслоение|касательного расслоения]] ''TM'' в ''M'', then the ''fibres'' of <math>\pi</math> are the [[Касательное пространство|касательные пространства]] ''T''<sub>''x''</sub>(''M'') for <math>x \in M</math>. Это также пример [[Расслоение|расслоённого пространства]].
# Факторгруппа — это голоморфный образ.
 
== Свойства ==
{{См. также|Алгебра множеств}}
 
{| class=wikitable style="float:right;"
|+
! Контрпримеры на основе <math>f\colon\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, x \mapsto x^2</math>, показывающие, что это равенство обычно не выполняется для некоторых законов:
|-
| [[Файл:Image preimage conterexample intersection.gif|thumb|<math>f(A_1\cap A_2) \varsubsetneq f(A_1) \cap f(A_2)</math>]]
|-
| [[Файл:Image preimage conterexample bf.gif|thumb|<math>f(f^{-1}(B_3))\subseteq B_3</math>]]
|-
| [[Файл:Image preimage conterexample fb.gif|thumb|<math>f^{-1}(f(A_4))\supseteq A_4</math>]]
|}
 
=== Общий случай ===
 
Для любой функции <math>f \colon X \rightarrow Y</math> и всех подмножеств <math>A \subseteq X</math> и <math>B \subseteq Y</math> выполняются следующие свойства:
 
{| class="wikitable"
|-
! Образ
! Прообраз
|-
|<math>f(X) \subseteq Y</math>
|<math>f^{-1}(Y) = X</math>
|-
|<math>f(f^{-1}(Y)) = f(X)</math>
|<math>f^{-1}(f(X)) = X</math>
|-
|<math>f(f^{-1}(B)) \subseteq B</math><br>(равны, если <math>B \subseteq f(X)</math>, т.е. <math>f</math> сюръектвна){{sfn|Halmos|1960|с=39}}{{sfn|Munkres|2000|с=19}}
|<math>f^{-1}(f(A)) \supseteq A</math><br>(равны, если <math>f</math> инъективна) {{sfn|Halmos|1960|с=39}}{{sfn|Munkres|2000|с=19}}
|-
|<math>f(f^{-1}(B)) = B \cap f(X)</math>
|<math>(f \vert_A)^{-1}(B) = A \cap f^{-1}(B)</math>
|-
|<math>f(f^{-1}(f(A))) = f(A)</math>
|<math>f^{-1}(f(f^{-1}(B))) = f^{-1}(B)</math>
|-
|<math>f(A) = \varnothing \Leftrightarrow A = \varnothing </math>
|<math>f^{-1}(B) = \varnothing \Leftrightarrow B \subseteq Y \setminus f(X)</math>
|-
|<math>f(A) \supseteq B \Leftrightarrow \exists C \subseteq A : f(C) = B </math>
|<math>f^{-1}(B) \supseteq A \Leftrightarrow f(A) \subseteq B</math>
|-
|<math>f(A) \supseteq f(X \setminus A) \Leftrightarrow f(A) = f(X)</math>
|<math>f^{-1}(B) \supseteq f^{-1}(Y \setminus B) \Leftrightarrow f^{-1}(B) = X</math>
|-
|<math>f(X \setminus A) \supseteq f(X) \setminus f(A)</math>
|<math>f^{-1}(Y \setminus B) = X \setminus f^{-1}(B)</math>{{sfn|Halmos|1960|с=39}}
|-
|<math>f(A \cup f^{-1}(B)) \subseteq f(A) \cup B</math>{{sfn|Lee|2011|с=388}}
|<math>f^{-1}(f(A) \cup B) \supseteq A \cup f^{-1}(B)</math>{{sfn|Lee|2011|с=388}}
|-
|<math>f(A \cap f^{-1}(B)) = f(A) \cap B</math>{{sfn|Lee|2011|с=388}}
|<math>f^{-1}(f(A) \cap B) \supseteq A \cap f^{-1}(B)</math>{{sfn|Lee|2011|с=388}}
|}
 
Also:
 
* <math>f(A) \cap B = \varnothing \Leftrightarrow A \cap f^{-1}(B) = \varnothing</math>
 
=== Для нескольких функций ===
 
Для функций <math>f\colon X \rightarrow Y</math> и <math>g\colon Y \rightarrow Z</math> с подмножествами <math>A \subseteq X</math> и <math>C \subseteq Z</math> выполняются следующие функции:
 
* <math>(g \circ f)(A) = g(f(A))</math>
* <math>(g \circ f)^{-1}(C) = f^{-1}(g^{-1}(C))</math>
 
=== Multiple subsets домена или кодомена ===
 
For function <math>f : X \rightarrow Y</math> and subsets <math>A_1,A_2 \subseteq X</math> and <math>B_1,B_2 \subseteq Y</math>, the following properties hold:
{| class="wikitable"
|-
! Образ
! Прообраз
|-
|<math>A_1 \subseteq A_2 \Rightarrow f(A_1) \subseteq f(A_2) </math>
|<math>B_1 \subseteq B_2 \Rightarrow f^{-1}(B_1) \subseteq f^{-1}(B_2) </math>
|-
|<math>f(A_1 \cup A_2) = f(A_1) \cup f(A_2)</math>{{sfn|Lee|2011|с=388}}{{r|kelley-1985}}
|<math>f^{-1}(B_1 \cup B_2) = f^{-1}(B_1) \cup f^{-1}(B_2)</math>
|-
|<math>f(A_1 \cap A_2) \subseteq f(A_1) \cap f(A_2)</math>{{sfn|Lee|2011|с=388}}{{r|kelley-1985}}<br>(равны, если <math>f</math> is инъективны{{sfn|Munkres|2000|с=21}})
|<math>f^{-1}(B_1 \cap B_2) = f^{-1}(B_1) \cap f^{-1}(B_2)</math>
|-
|<math>f(A_1 \setminus A_2) \supseteq f(A_1) \setminus f(A_2)</math>{{sfn|Lee|2011|с=388}}<br>(равны, если <math>f</math> инъективна{{sfn|Munkres|2000|с=21}})
|<math>f^{-1}(B_1 \setminus B_2) = f^{-1}(B_1) \setminus f^{-1}(B_2)</math>{{sfn|Lee|2011|с=388}}
|-
|<math>f(A_1 \triangle A_2) \supseteq f(A_1) \triangle f(A_2)</math><br>(равны , если <math>f</math> инъективна)
|<math>f^{-1}(B_1 \triangle B_2) = f^{-1}(B_1) \triangle f^{-1}(B_2)</math>
|-
|}
 
The results relating images and прообразов to the ([[Булева алгебра|булевой]]) алгебры [[Пересечение множеств|пересечений]] и [[Объединение множеств|объединений]] работает для любой коллекции подмножеств, не только для пар подмножеств:
 
* <math>f\left(\bigcup_{s\in S}A_s\right) = \bigcup_{s\in S} f(A_s)</math>
* <math>f\left(\bigcap_{s\in S}A_s\right) \subseteq \bigcap_{s\in S} f(A_s)</math>
* <math>f^{-1}\left(\bigcup_{s\in S}B_s\right) = \bigcup_{s\in S} f^{-1}(B_s)</math>
* <math>f^{-1}\left(\bigcap_{s\in S}B_s\right) = \bigcap_{s\in S} f^{-1}(B_s)</math>
(Здесь ''S'' может быть бесконечным множеством, даже [[Несчётное множество|несчётным]].)
 
With respect to the algebra of subsets described above, the inverse image function — это [[Решётка (алгебра)|гомоморфизм решётки]], while the image function — это лишь гомоморфизм [[Полурешётка|полурешёток]] (т.е., это не всегда сохраняет пересечения).
 
== См. также ==
*{{не переведено 5|Биекция, инъекция и сюръекция}}
* [[Теория функций вещественной переменной]]
* {{не переведено 5|Образ (теория категорий)|||Image (category theory)}}
* [[Дифференциальное уравнение в частных производных|Дифференциальные уравнения в частных производных]], a major user вещественнозначных функций
* {{не переведено 5|Ядро (теория множеств)|||Kernel of a function}}
* [[Норма (математика)]]
* [[Скаляр]]
 
== Примечания ==
{{примечания|2}}|refs=
<ref name=MV>{{Cite web|date=2020-03-01|title=Compendium of Mathematical Symbols|url=https://mathvault.ca/hub/higher-math/math-symbols/|access-date=2020-08-28|website=Math Vault|language=en-US}}</ref>
<ref name=LT>{{Cite web|date=2019-11-05|title=5.4: Onto Functions and Images/Preimages of Sets|url=https://math.libretexts.org/Courses/Monroe_Community_College/MTH_220_Discrete_Math/5%3A_Functions/5.4%3A_Onto_Functions_and_Images%2F%2FPreimages_of_Sets|access-date=2020-08-28|website=Mathematics LibreTexts|language=en}}</ref>
<ref name=MW>{{Cite web|last=Weisstein|first=Eric W.|title=Image|url=https://mathworld.wolfram.com/Image.html|access-date=2020-08-28|website=mathworld.wolfram.com|language=en}}</ref>
<ref name=CL>{{Cite web|date=2020-03-25|title=Comprehensive List of Algebra Symbols|url=https://mathvault.ca/hub/higher-math/math-symbols/algebra-symbols/|access-date=2020-08-28|website=Math Vault|language=en-US}}</ref>
<ref name=RH>M. Randall Holmes: [https://pdfs.semanticscholar.org/d8d8/5cdd3eb2fd9406d13b5c04d55708068031ef.pdf Inhomogeneity of the urelements in the usual models of NFU], December 29, 2005, on: Semantic Scholar, p. 2</ref>
<ref name="kelley-1985">{{harvnb|Kelley|1985|p=[{{Google books|plainurl=y|id=-goleb9Ov3oC|page=85|text=The image of the union of a family of subsets of X is the union of the images, but, in general, the image of the intersection is not the intersection of the images}} 85]}}</ref>
}}
==Литература==
{{refbegin|colwidth=30em}}
* {{cite book
|last=Apostol
|first=Tom M.
|date=1974
|title=Mathematical Analysis
|edition=2nd
|publisher=Addison–Wesley
|isbn=978-0-201-00288-1
}}
*{{книга
|ref=Lee
|автор=Gerald Folland
|серия=Graduate Texts in Mathematics
|ref=Folland
|том=202
|заглавие=Real Analysis: Modern Techniques and Their Applications
|год=2011
|издание=Second Edition
|автор=John M. Lee
|издательство=John Wiley & Sons, Inc.
|заглавие=Introduction to topological manifolds
|год=1999
|издание=2nd
|isbn=0-471-31716-0
|издательство=Springer
|место=New York, Dordrecht, Heidelberg, London
|ISBN=978-1-4419-7939-1
|ISBN2=978-1-4419-7940-7
}}
*{{cite book| title=Set Theory for the Mathematician | url=https://archive.org/details/settheoryformath0000rubi | url-access=registration | author=Jean E. Rubin |author-link= Jean E. Rubin |page=xix | year=1967 |publisher=Holden-Day |asin=B0006BQH7S}}
* {{книга
* {{Cite book | last= Artin | first= Michael |author-link=Michael Artin | title= Algebra | year=1991 | publisher=Prentice Hall| isbn= 81-203-0871-9 }}
|заглавие=Principles of Mathematical Analysis
* {{cite book |first=T.S. |last=Blyth |title=Lattices and Ordered Algebraic Structures |publisher= Springer |year= 2005 |isbn=1-85233-905-5}}.
|ref=Rudin
* {{Dolecki Mynard Convergence Foundations Of Topology}} <!-- {{sfn | Dolecki | 2016 | p=}} -->
|автор=Walter Rudin
* {{cite book | last = Halmos | first = Paul R. | author-link = Paul Halmos | title = Naive set theory | url = https://archive.org/details/naivesettheory0000halm | url-access = registration | series = The University Series in Undergraduate Mathematics | publisher = van Nostrand Company | year = 1960 | zbl = 0087.04403}}
|издательство=McGraw-Hill
* {{cite book |last1=Kelley |first1=John L. |title=General Topology |edition=2 |series=[[Graduate Texts in Mathematics]] |volume=27 |year=1985 |publisher=Birkhäuser |isbn=978-0-387-90125-1 }}
|год=1976
* {{
|isbn=978-0-07-054235-8
| Munkres
|издание=3rd
|=James R.
|место=New York
|=2000
}}
|=Topology
**{{книга
|=Second ed.
|автор=Рудин У.
|=Upper Saddle River, NJ
|заглавие=Основы математического анализа
|=Prentice Hall, Inc.
|ответственный=Перевод В. П. Хавина
|ISBN=978-0-13-181629-9
|издание=второе
|издательство= «Мир»
|место=Москва
|год=1976
}}
{{PlanetMath attribution|id=3276|title=Fibre}}
{{refend}}
 
== Ссылки ==
{{MathWorld |title=Real Function |id=RealFunction}}
Источник — https://ru.wikipedia.org/wiki/Участник:Jumpow/Песочница