Группа Ли: различия между версиями

66 байт добавлено ,  1 год назад
[отпатрулированная версия][отпатрулированная версия]
[[Алгебра Ли]] полностью определяет локальную структуру своей группы Ли.
 
[[Векторное поле]] на группе Ли ''<math>G''</math> называется ''левоинвариантным'', если оно коммутирует с левыми сдвигами, то есть
: ''V''(''l<sub>g</sub>''<supmath>X(l^*</sup>_g ''(f'')) = ''l<sub>g</sub>''<sup>^*_g(X(f))</supmath> (''Vf'') для всех ''<math>g''</math> из ''<math>G''</math>, и любой дифференцируемой функции ''<math>f''</math>.
Эквивалентно,
: ''dl<submath>g</sub>''dl_g X_p = (''V<sub>x</sub>''l_g)_* X_p = ''V<sub>gxX_{gp}</submath>'' для всех ''x''<math>p</math>, ''<math>g''</math> из <math>G</math>.
 
Очевидно, любое левоинвариантное векторное поле ''V<math>X</math>'' на группе Ли полностью определяется своим значением ''V<submath>e</sub>'' в единице. Наоборот, задав произвольный вектор ''V'' в касательном пространстве ''G<sub>e</sub>'' к единице, можно разнести его левыми сдвигами по всей группе. Получается взаимно однозначное соответствие между касательным пространством к группе в единице и пространством левоинвариантных векторных полей.X_e
</math>'' в единице. Наоборот, задав произвольный вектор ''<math>X</math>'' в касательном пространстве ''<math>T_e G</math>'' к единице, можно разнести его левыми сдвигами по всей группе. Получается взаимно однозначное соответствие между касательным пространством к группе в единице и пространством левоинвариантных векторных полей.
 
Скобка Ли <math>[''X'',''Y'']</math> левоинвариантных векторных полей будет левоинвариантным векторным полем. Поэтому ''G<submath>eT_e G</submath>'' является [[алгебра Ли|алгеброй Ли]].
Эта алгебра <math>\mathfrak{g}</math> называется ''алгеброй Ли группы <math>G</math>''.
(Обычно алгебра обозначается соответствующей малой готической буквой.)
 
Анонимный участник