Непрерывное отображение: различия между версиями

м
 
Отображение <math>f\colon X \to Y</math> метрического пространства <math>(X,\rho_X)</math> в метрическое пространство <math>(Y,\rho_Y)</math> называется непрерывным в точке <math>a</math>, если для всякого <math>\varepsilon > 0</math> существует <math>\delta > 0</math>, что для всякого <math>x\in X</math>, такого, что <math>\rho_X(x,a) < \delta</math>, выполняется неравенство: <math>\rho_Y(f(x), f(a))<\varepsilon</math>.
 
Для [[нормированное векторное пространство|линейных нормированных пространств]] (включая, [[гильбертово пространство|гильбертовы]] и конечномерное [[евклидово пространство|евклидовы]] пространства) метрика задаётся нормой, поэтому то же определение даётся в терминах нормы.
 
Пусть, <math>f\colon {N_1}\to {N_2}</math> отображение между [[нормированное векторное пространство|нормированными пространствами]] с нормами <math>\|{*}\|_1</math> и <math>\|{*}\|_2</math> соответственно. Функция <math>f</math> '''непрерывна в точке''' <math>a</math>, если для любого числа <math>\varepsilon > 0</math> найдётся такое число <math>\delta > 0</math>, что для всех точек <math>x \in N_1</math>, таких что <math>\|x-a\|_1< \delta</math> выполнено неравенство <math>\|f(x)-f(a)\|_2 < \varepsilon</math>,
2

правки