Функция (математика): различия между версиями

Более общим определением функции, включающим в себя не только однозначные функции, но и [[Функция (математика)#Многозначные функции|многозначные]], является следующее:

В случае '''1''' рассматриваются отображения в самом общем виде и решаются наиболее общие вопросы. Таким общим вопросом,— например, является вопрос о сравнении множеств по [[Мощность множества|мощности]]: если между двумя множествами существует взаимно однозначное отображение (биекция), то два данныхэти множества называют ''эквивалентными'' или ''[[Мощность множества|равномощными]]''.

Это позволяет провести классификацию множеств впо видеих единой шкалымощностям, начальныйпричём фрагментнаименьшие из них в выглядитпорядке следующимувеличения образомтаковы:

* [[Счётное множество|счётные множества]] — множества, эквивалентные [[Натуральное число|множеству натуральных чисел]];

* [[Континуум (теория множеств)|множества мощности континуума]] (например, отрезок вещественной прямой или сама [[Числовая ось|вещественная прямая]]).

В [[Функция (математика)#Свойства множеств и функций|случае '''2''',]] основнойосновным объектобъектом рассмотрения —является заданная на множестве структура (дополнительныегде свойства элементовэлементы множества наделены каким-то дополнительными свойствами, которые связывают эти элементы, — например, в [[Группа (математика)|группах]], [[Кольцо (алгебра)|кольцах]], [[Линейное пространство|линейных пространствах]]) и то, что происходит с этой структурой при отображении: если при взаимно однозначном отображении сохраняются свойства заданной структуры, то говорят, что между двумя структурами установлен [[изоморфизм]]. Таким образом, изоморфные структуры, заданные в различных множествах, вообще говоря, невозможно различить, поэтому в математике принято говорить, что данная структура рассматривается «с точностью до [[изоморфизм]]а».

* структура [[Отношение порядка|порядка]] — [[Частично упорядоченное множество|частичный]] или [[Линейно упорядоченное множество|линейный порядок]] элементов множества;

* [[Алгебраическая система|алгебраическая структура]] — [[Магма (алгебра)|группоид]], [[полугруппа]], [[Группа (математика)|группа]], [[Кольцо (математика)|кольцо]], [[Тело (алгебра)|тело]], область целостности или [[Поле (алгебра)|поле]], заданные на элементах множества;

* структура [[Метрическое пространство|метрического пространства]] — на элементах множества задаётся [[Метрика (метрическая геометрия)|функция расстояния]];

* структура [[Евклидово пространство|евклидового пространства]] — на элементах множества задаётся [[скалярное произведение]];

* структура [[Топологическое пространство|топологического пространства]] — на множестве задаётся совокупность «[[Открытое множество|открытых множеств]]» (которые не содержат свою [[Граница (топология)|границу]]);

* структура [[Измеримое пространство|измеримого пространства]] — на множестве задаётся [[сигма-алгебра]] подмножеств исходного множества (например, посредством задания [[Мера множества|меры]] с данной сигма-алгеброй в качестве области задания функции)

Функции с каким-либо конкретным свойством могут не существовать на тех множествах, которые не обладающихобладают соответствующей структурой. Например, формулировкачтобы свойствасформулировать такое свойство, как ''непрерывности[[Непрерывная функция|непрерывность]]'' функции, заданной на множестве, требует задания на этом множестве нужно задать ''топологическойтопологическую структурыструктуру''. <!-- Будем рассматривать всевозможные функции вида <math>f\colon X\to Y</math>. <math>X</math> и <math>Y</math> .-->

''Частично определённаяопределённой функцияфункцией'' <math>f</math> из множества <math> X</math> в множество <math>Y</math> естьназывается функция <math>f\colon X'\to Y</math> с областью задания <math>X'={\rm Dom}f\subsetsubsetneq X</math>.<!-- Тут можно сослаться на такое понятие, как сужение функции, о котором написано в разделах выше? -->

Некоторые авторы понимаютмогут под функциейсамо́й частичноифункцией определённуюподразумевать функциюлишь её сужение — такое, чтобы на «суженной» области определения функция была определена целиком. Это имеет свои преимущества,: например, возможна запись <math>f\colon \R\to\R</math>, где <math>f(x)=1/x,</math> — в этом случае имеется в виду <math>\mathop{\rm Dom}f=\R\backslash\{0\}</math>.

В силу определения функции, заданномуЗаданному значению аргумента соответствуетдолжно соответствовать ровно ''одно'' значение функции, что связано с самим определением функции. НесмотряНо, несмотря на это, нередко можно услышать провстретить так называемые [[многозначная функция|многозначные функции]]. В действительности, это не более чем удобное обозначение функции, область значений которой сама является семейством множеств.