Равномерная непрерывность: различия между версиями

 

=== Некоторые признаки равномерной непрерывности функции ===

# Сумма, разность и [[Композиция функций|композиция]] равномерно непрерывных функций равномерно непрерывны<ref name=ME/>. Однако произведение равномерно непрерывных функций может не быть равномерно непрерывно. Например{{sfn |Шибинский|2007|с=528 (пункт 2.7)}}, пусть <math>f(x)=x;\ g(x)=\ln(x).</math> Обе функции равномерно непрерывны при <math>x \geqslant 1</math>, но их произведение не является равномерно непрерывным на <math>[1, +\infty)</math>. Для ограниченного промежутка произведение равномерно непрерывных функций всегда равномерно непрерывно<ref name=BUT11/>.

# Если функция <math>f(x)</math> определена и непрерывна на <math>[a,+\infty)</math> и существует конечный [[Предел функции|предел]] <math>\lim_{x \to +\infty} f(x)</math>, то функция равномерно непрерывна на <math>[a,+\infty)</math>. Другими словами, функция, определённая на бесконечном полуинтервале, может быть не равномерно непрерывной только если её предел в бесконечности не существует или бесконечен{{sfn |Бутузов и др.|с=6}}.