Размерность Минковского: различия между версиями
| [непроверенная версия] | [непроверенная версия] |
Содержимое удалено Содержимое добавлено
KIzyurov (обсуждение | вклад) |
KIzyurov (обсуждение | вклад) |
||
Строка 5:
== Примеры ==
* размерность конечного множества равна нулю, так как для него <math>\rho(n)</math> не превосходит количества элементов в нем.
* размерность отрезка равна 1, так как необходимо <math>an</math> отрезков длины <math>1/n</math>, чтобы покрыть отрезок длины <math>a</math>. Таким образом,
<math>\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\frac{\ln(\rho(n))}{\ln(n)}=\frac{\ln(n)+\ln(a)}{\ln(n)}=1</math>.
* размерность квадрата равна 2, так как число квадратиков с диагональю <math>1/n</math>, необходимых, чтобы покрыть квадрат со стороной <math>a</math>, ведет себя примерно как <math>a^2n^2</math>.
* размерность [[фрактал|фрактального множества]] может быть дробным числом. Так, размерность [[кривая Коха|кривой Коха]] равна <math>\ln4/\ln3</math>. Неформальное рассуждение, показыающее это, таково. Отрезок можно разбить на 2 части, подобные исходному отрезку с коэффициентом 1/2. Чтобы покрыть отрезок множествами диаметра <math>1/n</math>, нужно покрыть каждую из половин такими множествами. Но для половины их нужно столько же, сколько для всего отрезка множеств диаметра <math>2/n</math>. Поэтому для отрезка имеем <math>\rho(n)\approx 2\rho(n/2)</math>. То есть, при увеличении <math>n</math> в два раза <math>\rho(n)</math> увеличивается тоже в два раза. Иными словами, <math>\rho(n)</math>
Для квадрата аналогичное рассуждение дает <math>\rho(n)\approx 4\rho(n/2)</math>. То есть, при увеличении <math>n</math> в два раза <math>\rho(n)</math> увеличивается в 4 раза. Иными словами, <math>\rho(n)</math>
▲Для квадрата аналогичное рассуждение дает <math>\rho(n)\approx 4\rho(n/2)</math>. То есть, при увеличении <math>n</math> в два раза <math>\rho(n)</math> увеличивается в 4 раза. Иными словами, <math>\rho(n)</math> -- квадратичная функция.
Наконец, кривая Коха состоит из 4 частей, каждая из которых подобна исходной кривой с коэффициентом 1/3. Поэтому для нее <math>\rho(n)\approx 4\rho(n/3)</math>. Подставляя <math>n=3^k</math>, получаем <math>\rho(3^k)\approx 4\rho(3^{k-1})\approx 4^2\rho(3^{k-2}\approx \dots\approx 4^k\rho(1)=4^{\log_3 n}\rho(1)=n^{\ln4/ln3}\rho(1)</math>. Отсюда следует, что размерность равна <math>\ln4/ln3</math>.
| |||