Совершенное число: различия между версиями
| [непроверенная версия] | [отпатрулированная версия] |
Содержимое удалено Содержимое добавлено
V1adis1av (обсуждение | вклад) Нет описания правки |
|||
Строка 1:
'''
Числа, у которых сумма всех делителей в '''целое''' число раз больше самого числа называются▼
▲ По мере того как [[натуральное число|натуральные числа]] возрастают, совершенные числа встречаются всё реже. Неизвестно, бесконечно ли множество всех совершенных чисел. Неизвестно также, есть ли среди них нечётные.
Совершенные числа образуют {{OEIS|A000396}}:
Строка 33 ⟶ 31 :
* совершенные числа, для которых сумма собственных делителей равна самому числу.
Современные исследования показали, что наиболее распространены недостаточные числа, их примерно 75 %. Избыточных чисел немногим менее 25 %. Доля совершенных чисел на интервале от 1 до <math>N</math> с ростом <math>N</math> стремится к нулю<ref>{{книга |автор=[[Стюарт, Иэн (математик)|Стюарт, Иэн]] |ref=Иэн Стюарт |заглавие=Невероятные числа профессора Стюарта |место=М. |издательство=Альпина нон-фикшн |страниц=422 |оригинал=Professor Stewart's incredible numbers |год=2016 |isbn=978-5-91671-530-9 |страницы=103—104}}</ref>.
▲
=== Чётные совершенные числа ===
Алгоритм построения чётных совершенных чисел описан в IX книге [[Начала Евклида|''Начал'' Евклида]], где было доказано, что число <math>\ 2^{p-1}(2^p-1)</math> является совершенным, если число <math>\ 2^p-1</math> является [[простое число|простым]] (т. н. простые [[числа Мерсенна]])<ref>[http://www.arbuz.uz/z_sov1.html Совершенная красота и совершенная бесполезность совершенных чисел]</ref>. Впоследствии [[Леонард Эйлер]] доказал, что все чётные совершенные числа имеют вид, указанный Евклидом.
Первые четыре совершенных числа (соответствующие {{math|''р''}} = 2, 3, 5 и 7) приведены в ''Арифметике'' [[Никомах Геразский|Никомаха Геразского]]. Пятое совершенное число {{num|33550336}}, соответствующее {{math|''р''}} = 13, обнаружил немецкий математик [[Региомонтан]] (XV век). В 1588 году итальянский математик [[Катальди, Пьетро|Катальди]] нашел ещё два совершенных числа: {{num|8589869056}} и {{num|137438691328}}. Они соответствуют {{math|''р''}} = 17 и {{math|''р''}} = 19. В начале XX века были найдены ещё три совершенных числа (для {{math|''р''}} = 89, 107 и 127). В дальнейшем поиск затормозился вплоть до середины XX века, когда с появлением компьютеров стали возможными вычисления, превосходящие человеческие возможности.
На 2019 год известно 51 совершенное число, вытекающее из простых [[Число Мерсенна|чисел Мерсенна]], поиском которых занимается проект [[распределённые вычисления|распределённых вычислений]] [[GIMPS]].
Строка 45:
Нечётных совершенных чисел до сих пор не обнаружено, однако не доказано и то, что их не существует. Неизвестно также, конечно ли множество нечётных совершенных чисел, если они существуют.
Доказано, что нечётное совершенное число, если оно существует, превышает
== Свойства ==
| |||