Совершенное число: различия между версиями

91 байт добавлено ,  3 месяца назад
Нет описания правки
'''СовершенноеСоверше́нное число́''' ({{lang-grc|ἀριθμὸς τέλειος}}) — [[натуральное число]], равное сумме всех своих [[собственный делитель|собственных делителей]] (то есть всех положительных делителей, отличных от самого́ числа). Например, число 6 равно сумме своих собственных делителей {{nobr|1 + 2 + 3}}.
 
Если суммировать ''все'' делители числа (то есть добавить само число) <math> \sigma(N) - N = N</math> или <math> \sigma(N) = 2N,</math>, получим другое эквивалентное определение: '''Совершенные числа''' - это числа, у которых сумма всех делителей в '''2''' раза больше самого числа.
 
Числа, у которых сумма всех делителей в '''целое''' число раз больше самого числа называются
По мере того как [[натуральное число|натуральные числа]] возрастают, совершенные числа встречаются всё реже. Неизвестно, бесконечно ли множество всех совершенных чисел. Неизвестно также, есть ли среди них нечётные.
'''мультисовершенными числами''' (Multiperfect Number англ.)
По мере того как [[натуральное число|натуральные числа]] возрастают, совершенные числа встречаются всё реже. Неизвестно, бесконечно ли множество всех совершенных чисел. Неизвестно также, есть ли среди них нечётные.
 
Совершенные числа образуют {{OEIS|A000396}}:
* совершенные числа, для которых сумма собственных делителей равна самому числу.
Современные исследования показали, что наиболее распространены недостаточные числа, их примерно 75&nbsp;%. Избыточных чисел немногим менее 25&nbsp;%. Доля совершенных чисел на интервале от 1 до <math>N</math> с ростом <math>N</math> стремится к нулю<ref>{{книга |автор=[[Стюарт, Иэн (математик)|Стюарт, Иэн]] |ref=Иэн Стюарт |заглавие=Невероятные числа профессора Стюарта |место=М. |издательство=Альпина нон-фикшн |страниц=422 |оригинал=Professor Stewart's incredible numbers |год=2016 |isbn=978-5-91671-530-9 |страницы=103—104}}</ref>.
 
Числа, у которых сумма всех делителей в '''целое''' число раз больше самого числа, называются '''мультисовершенными числами'''.
 
=== Чётные совершенные числа ===
Алгоритм построения чётных совершенных чисел описан в IX книге [[Начала Евклида|''Начал'' Евклида]], где было доказано, что число <math>\ 2^{p-1}(2^p-1)</math> является совершенным, если число <math>\ 2^p-1</math> является [[простое число|простым]] (т. н. простые [[числа Мерсенна]])<ref>[http://www.arbuz.uz/z_sov1.html Совершенная красота и совершенная бесполезность совершенных чисел]</ref>. Впоследствии [[Леонард Эйлер]] доказал, что все чётные совершенные числа имеют вид, указанный Евклидом.
 
Первые четыре совершенных числа (соответствующие {{math|''р''}} = 2, 3, 5 и 7) приведены в ''Арифметике'' [[Никомах Геразский|Никомаха Геразского]]. Пятое совершенное число {{num|33550336}}, соответствующее {{math|''р''}} = 13, обнаружил немецкий математик [[Региомонтан]] (XV век). В 1588 году итальянский математик [[Катальди, Пьетро|Катальди]] нашел ещё два совершенных числа: {{num|8589869056}} и {{num|137438691328}}. Они соответствуют {{math|''р''}} = 17 и {{math|''р''}} = 19. В начале XX века были найдены ещё три совершенных числа (для {{math|''р''}} = 89, 107 и 127). В дальнейшем поиск затормозился вплоть до середины XX века, когда с появлением компьютеров стали возможными вычисления, превосходящие человеческие возможности.
 
На 2019 год известно 51 совершенное число, вытекающее из простых [[Число Мерсенна|чисел Мерсенна]], поиском которых занимается проект [[распределённые вычисления|распределённых вычислений]] [[GIMPS]].
Нечётных совершенных чисел до сих пор не обнаружено, однако не доказано и то, что их не существует. Неизвестно также, конечно ли множество нечётных совершенных чисел, если они существуют.
 
Доказано, что нечётное совершенное число, если оно существует, превышает 9.99999999999e+1091 (а также 10<sup>1500</sup>); при этом число простых делителей такого числа с учётом кратности не меньше 101<ref name="Ochem and Rao (2012)">{{статья |заглавие=Odd perfect numbers are greater than 10<sup>1500</sup> |издание={{Нп3|Mathematics of Computation}} |том=81 |номер=279 |doi=10.1090/S0025-5718-2012-02563-4 |ссылка=http://www.lirmm.fr/~ochem/opn/opn.pdf |страницы=1869—1877 |zbl=pre06051364 |issn=0025-5718 |язык=en |тип=journal |автор=Ochem, Pascal; Rao, Michaël |год=2012}}</ref>. Поиском нечётных совершенных чисел занимается проект [[распределённые вычисления|распределённых вычислений]] [https://web.archive.org/web/20181106015226/http://oddperfect.org/ OddPerfect.org].
 
== Свойства ==