Групповой анализ дифференциальных уравнений: различия между версиями

'''Оператором инвариантного дифференцирования''' группы <math>G</math> называется дифференциальный оператор, который при действии на дифференциальный инвариант этой группы даёт дифференциальный инвариант более высокого порядка. Из определения следует, что оператор <math>\delta</math> является оператором инвариантного дифференцирования группы <math>G</math> тогда и только тогда, когда он коммутирует с любым генератором <math>\underset{\infty}{Y}</math> продолженного действия этой группы:
 
: {{EF|:|<math>\left[\delta,\,\underset{\infty}{Y}\right] = 0.</math>|style=|ref=5|center=}}
 
Для любой группы <math>G</math> преобразований пространства <math>Z = X\times U</math> существуют <math>n = \dim X</math> операторов инвариантного дифференцирования первого порядка, линейно независимых над [[Поле (алгебра)|полем]] инвариантов данной группы. Эти инварианты имеют вид <math>\delta=\lambda^a D_a</math> и с учётом ({{eqref|5|}}) удовлетворяют системе уравнений
: <math>\underset{\kappa\ \ \ }{Y_i}\lambda^a = \lambda^b D_b\xi^a_i,\qquad i = 1, ..., \dim G.</math>
Число <math>\kappa</math> является наименьшим порядком продолжения группы <math>G</math>, ранг которого максимален, то есть равен <math>\dim G</math>. Поле дифференциальных инвариантов имеет конечный набор образующих в том смысле, что произвольный дифференциальный инвариант может быть получен конечным числом действий, включающих функциональные операции и применение операторов инвариантного дифференцирования первого порядка, из базиса дифференциальных инвариантов порядка <math>\kappa + 1</math>.