Групповой анализ дифференциальных уравнений: различия между версиями

Нет описания правки
 
Хорошо развитые методы [[Теория групп|теории групп]] и дифференциальной геометрии позволяют придать изложенным соображениям строгие формулировки и конструктивно решить ряд сопутствующих задач, а также существенно расширяют арсенал средств для исследования качественного поведения решений дифференциальных уравнений, численного интегрирования и т. п.
 
== Определения и основные положения ==
Пусть <math>x = (x^1, x^2, ... x^n) \in X = R^n</math> и <math>u = (u^1, u^2, ..., u^m) \in U = R^m</math> обозначают совокупности соответственно независимых и зависимых переменных некоторой системы дифференциальных уравнений порядка <math>s</math>
 
:{{EF|:|<math>\underset{s\ \ \ }{Y_A} = \xi^a(x, u)\frac{\partial}{\partial x^a} + \eta^\alpha(x, u)\frac{\partial}{\partial u^\alpha} + \sum\limits_{|I| = 1}^s\theta^\alpha_I(x, u, \underset{1}{u}, ..., \underset{|I|}{u})\frac{\partial}{\partial u^\alpha_I},\quad \theta^\alpha_I = \left.\frac{d\psi^\alpha_I(x, u, \underset{1}{u}, ..., \underset{|I|}{u}, e^{t A})}{d t}\right|_{t = 0},</math>|style=|ref=4|center=}}
 
где <math>I</math> — [[мультииндекс]], называется '''<math>s</math>-м продолжением''' генератора <math>Y_A</math>. По аналогии путём формального прибавления к ряду ({{eqref|4|}}) неограниченного числа слагаемых с производными высших порядков вводится понятие '''бесконечного продолжения''' <math>\underset{\infty\ \ \ }{Y_A}</math>. При этом вопрос о сходимости данного ряда не возникает, так как на практике всегда приходится иметь дело с функциями, зависящими от производных конечного порядка. Явный вид коэффициентов продолженного генератора находится дифференцированием ограничений
 
== Основные положения и результаты ==
=== Коэффициенты продолженных генераторов ===
Явный вид коэффициентов продолженного генератора находится дифференцированием ограничений
 
:<math>d{u'}^\alpha = {u'}^\alpha_a d{x'}^a,\quad d{u'}^\alpha_a = {u'}^\alpha_{ab} d{x'}^b</math>
 
которое должно выполняться для любого элемента <math>A</math> из окрестности нуля алгебры Ли <math>\cal G</math>. Так как данное условие содержит не только переменные <math>x</math> и <math>u</math>, от которых зависят коэффициенты генератора <math>Y</math>, но и производные, вообще говоря, до порядка <math>s</math> включительно, которые в данном случае фигурируют как независимые переменные, при любых значениях которых условие обязано выполняться, то оно распадается на систему, как правило, переопределённых линейных дифференциальных уравнений на коэффициенты <math>\xi^a</math>, <math>\eta^\alpha</math>. Решив эту систему, можно в принципе восстановить (локальное) действие группы <math>G</math> в пространстве <math>X\times U</math>, а затем и в <math>\underset{s}{Z}</math>.
 
== Основные результаты ==
 
=== Дифференциальные инварианты ===