|
'''Невырожденная матрица''' (иначе '''неособенная матрица''') ― квадратная [[матрица (математика)|матрица]], [[определитель]] которой отличен от нуля. В противном случае матрица называется [[Вырожденная матрица|вырожденной]].
Для квадратной матрицы ''<math>M''</math> надс элементами из некоторого [[поле (алгебра)|полемполя]] <math>K</math> невырожденность эквивалентна каждому из следующих условий:
* ''<math>M''</math> обратима, то есть существует [[обратная матрица]];
* строки (столбцы) матрицы ''<math>M''</math> [[линейная независимость|линейно независимы]];
* [[ранг матрицы]] <math>M</math> равен её размерности.
Совокупность всех невырожденных матриц порядка <math>n</math> образует группу, которая называется [[полная линейная группа]]. Роль групповой операции в ней играет обычное умножение матриц. ОбычноПолная линейная группа обычно обозначается как <math>GL(n)</math><ref>''Рохлин В. А., Фукс Д. Б.'' Начальный курс топологии. Геометрические главы. ― М.: Наука, 1977. ― С. 268—271.</ref> '''GL(''n'')'''. Если требуется явно указать, какому полю ''<math>K''</math> должны принадлежать элементы матрицы, то пишут <math>GL(n,K)</math><ref>''Кострикин А. И., Манин Ю. И.'' Линейная алгебра и геометрия. ― М.: Наука, 1986. ― С. 34.</ref>:. '''Так, если элементами являются [[действительные числа]], полная линейная группа порядка <math>n</math> обозначается <math>GL(''n'',''K''\mathbb{R})'''</math>, а если [[комплексное число|комплексные числа]], то <math>GL(n,\mathbb{C})</math>.
Матрица порядка ''<math>n ''</math> заведомо ''невырождена '', если это: ▼Так, если элементами являются [[действительные числа]], полная линейная группа порядка ''n'' обозначается '''GL(''n'',R)''', а если [[комплексное число|комплексные числа]], то '''GL(''n'',C)'''.
* нижняя [[ треугольнаядиагональная матрица]] с ненулевыми диагональными элементами (такие матрицы образуют группу <math>D(n,K)</math>); ▼
* верхняя [[треугольная матрица]] с ненулевыми диагональными элементами (такие матрицы образуют группу <math>T(n,K)</math>);
▲Матрица порядка ''n'' заведомо ''невырождена'', если это:
* [[диагональнаянижняя треугольная матрица]] с ненулевыми диагональными элементами (такие матрицы образуют группу D(''n'',''K''));
* верхняя [[треугольнаяунитреугольная матрица]] с(т.е. ненулевымиверхние диагональнымитреугольные элементамиматрицы у которых диагональные элементы равны 1; (такие матрицы образуют группу T<math>UT(''n'',''K'')</math>);.
▲* нижняя [[треугольная матрица]] с ненулевыми диагональными элементами;
* [[унитреугольная матрица]] (т.е. верхние треугольные матрицы у которых диагональные элементы равны 1; такие матрицы образуют группу UT(''n'',''K'')).
== Примечания ==
| 