Теорема Брауэра о неподвижной точке: различия между версиями

[непроверенная версия][непроверенная версия]
Содержимое удалено Содержимое добавлено
Нет описания правки
Строка 7:
 
Более подробно, рассмотрим замкнутый шар в ''n''-мерном пространстве <math>B^n\subset \mathbb R^n</math>. Пусть <math>f \colon B^n\to B^n\!\,</math> — некоторое непрерывное отображение этого шара в себя (не обязательно строго внутрь себя, не обязательно [[биекция|биективное]] и даже не обязательно [[сюръекция|сюръективное]]). Тогда найдется такая точка <math>x\in B^n</math>, что <math>f(x)=x\!\,</math>.
 
== Доказательство ==
 
Теорему Брауэра легко вывести из того факта, что не существует [[ретракт|ретракции]] шара на его границу. Действительно, пусть <math>f \colon B^n\to B^n\!\,</math> -- отображение шара в себя, не имеющее неподвижных точек. Построим на его основе ретракцию шара на его границу. Для каждой точки <math>x</math> рассмотрим прямую, проходящую через точки <math>x</math> и <math>f(x)</math> (она единственна, так как по предволожнию неподвижных точек нет.). Пусть <math>y</math> -- точка пересечения этой прямой с границей шара, причем <math>x</math> лежит между <math>f(x)</math> и <math>y</math>. Лекго видеть, что отображение <math>x\mapsto y</math> -- ретракция шара на его границу. Противоречие.
 
== Следствия ==