Теорема Эрдёша — Каца: различия между версиями

м
викификация, источники
(Функция «Добавить ссылку»: добавлено 3 ссылки.)
м (викификация, источники)
 
'''Теорема Эрдёша — Каца''' — утверждение в [[Теория чисел|теории чисел]], которое связывает [[Распределение вероятностей|распределение]] числа разных [[Простой делитель|простых делителей]] больших чисел с формулами предельных законов [[Теория вероятностей|теории вероятностей]]. Этот результат [[Теория чисел|теории чисел]], полученный [[Эрдёш, Пал|Палом Эрдёшом]] и [[Кац, Марк|Марком Кацем]] в [[1940 год в науке|1940 году]] утверждает, что если <math>\omega(n)</math> — число различных [[Простое число|простых]] делителей числа <math>n</math>, то предельное распределение величины
 
: <math> \frac{\omega(n) - \log\log n}{\sqrt{\log\log n}}</math>
 
== Оригинальное доказательство ==
В оригинальном доказательстве<ref>{{статья |автор= [[Эрдёш, Пол|Paul Erdős]], Mark Kac |заглавие=The Gaussian Law of Errors in the Theory of Additive Number Theoretic Functions |ссылка=http://www.renyi.hu/~p_erdos/1940-12.pdf |язык= |издание=American Journal of Mathematics |тип= |год=1940 |том=62 |номер=1/4 |страницы=738—742 |doi= |issn=}} (MR2, 42c ; Zentralblatt 24, 102</ref> утверждение о нормальности распределения в первой лемме теоремы основано на том, что функция <math>\omega(n)</math> является [[Аддитивность|аддитивной]] и может быть представлена как сумма [[Индикатор (математика)|индикаторов]] [[Делимость|делимости]] на простые числа. Далее, не вводя понятие случайной величины, авторы утверждают, что слагаемые-индикаторы независимы<ref> Если число <math>n</math> делится на <math>m</math>, то оно не делится на простое <math> p > \frac {n}{m}</math>. Значит, если несколько индикаторов приняли значение 1, то остальные индикаторы равны 0. Индикаторы слабо взаимозависимы и, кроме того, имеют разные распределения. </ref>. Затем не вдаваясь в подробности, авторы ссылаются на источник<ref> Cf. for instance the first chapter of S. Bernstein’s paper, "Sur I’extension du theoreme limite du calcul des probabilites aux sommes de quantites dependantes", Mathematische Annalen, vol. 97, pp. 1-59.</ref>, где нормальность распределения доказывается для сумм слабозависимых случайных величин<ref>Взаимозависимость слагаемых видимо предполагается, но не уточняется.</ref>. В конце доказательства авторы извиняются за поверхностность «статистической»<ref>Кавычки авторов.</ref> леммы.
 
В [[1958 год]]угоду [[Реньи, Альфред|Альфред Реньи]] и [[Туран, Пал|Пал Туран]] дали более точное доказательство.
 
== Особенности ==
В теореме идёт речь о распределении [[Детерминированность|детерминированных величин]], а не о [[Распределение вероятностей|распределении вероятностей]] [[Случайная величина|случайной величины]]. Но если на достаточно большом отрезке [[Натуральное число|натуральных чисел]] выбирать ''случайно'' число <math>n</math>, то число различных простых делителей этого числа будет иметь приблизительно нормальное распределение с [[Математическое ожидание|математическим ожиданием]] и дисперсией равным среднему значению <math>\log \log n</math> на отрезке. Поскольку эта функция, называемая повторным логарифмом, растёт медленно, то такое усреднение не будет приводить к большой ошибке даже на очень длинных отрезках. Вид распределения связывает теорему Эрдёша — Каца с [[Центральная предельная теорема|центральной предельной теоремой]].
 
== Скорость роста повторного логарифма ==