Взаимно простые числа: различия между версиями

Функция «Добавить ссылку»: добавлено 2 ссылки.
[отпатрулированная версия][отпатрулированная версия]
(Исправлена ошибка в формуле(там должно быть произведение этих чисел вместо их перечисления))
Метки: правка с мобильного устройства правка из мобильной версии
(Функция «Добавить ссылку»: добавлено 2 ссылки.)
Метки: правка через визуальный редактор правка с мобильного устройства правка из мобильной версии расширенная мобильная правка Задача для новичков Предлагается: добавить ссылки
*Если <math>d=</math> [[наибольший общий делитель|НОД]]<math>(a,b)</math>, то числа <math>\frac ad</math> и <math>\frac bd</math> взаимно просты.
 
*Дробь является [[Несократимая дробь|несократимой]] тогда и только тогда, когда [[Дробь (математика)|числитель]] и знаменатель взаимно просты.
 
*Если числа <math>a</math> и <math>m</math> взаимно просты, то [[сравнение по модулю|сравнение]] <math>ax \equiv b \pmod m </math> для любого <math>b</math> имеет единственное решение{{sfn |Михелович|1967||с=64}} по модулю <math>m.</math> В частности, решение сравнения для <math>b=1</math> даёт [[обратный элемент]] для <math>a</math> в [[Кольцо вычетов по модулю m|кольце вычетов по модулю m]]. (См. ''[[Соотношение Безу]]'')
 
== Вариации и обобщения ==
Понятия [[Простое число|простого числа]], наибольшего общего делителя и взаимно простых чисел естественно обобщаются на произвольные [[Евклидово кольцо|евклидовы кольца]], например, на кольцо [[многочлен]]ов или [[гауссовы целые числа]]. Обобщением понятия простого числа является «[[неприводимый элемент]]». Данное выше определение взаимно простых чисел не годится для произвольного евклидова кольца, поскольку в кольце могут быть [[Обратимый элемент|делители единицы]]; в частности, НОД определяется с точностью до умножения на делитель единицы. Поэтому определение взаимно простых чисел следует модифицировать<ref name=LARIN>{{книга |автор=Ларин С. В. |заглавие=Алгебра и теория чисел. Группы, кольца и поля: учеб. пособие для академического бакалавриата |место= М. |издательство =Юрайт |год=2018 |страницы=92—93 |страниц=160|издание=2-е изд |серия=Бакалавр. Академический курс|isbn=978-5-534-05567-2 }}</ref>.
:{{рамка}}
Элементы евклидова кольца называются взаимно простыми, если множество их наибольших общих делителей содержит только делители единицы.