Евклидово кольцо: различия между версиями

2 байта добавлено ,  3 месяца назад
викификация, источники
(Функция «Добавить ссылку»: добавлено 5 ссылок.)
(викификация, источники)
 
 
=== Дополнительное ограничение ===
Часто на евклидову [[Норма (математика)|норму]] накладывают дополнительное ограничение: <math>d(a)\leqslant d(ab)</math> для любых ненулевых <math>a</math> и <math>b</math> из кольца <math>R</math>. Если на <math>R</math> задана норма, не удовлетворяющая этому условию, её можно поправить, переопределив:
:: <math>d'(a) = \min_{x\in R\setminus\{0\}} d(ax)</math>.
Такая норма нужному неравенству удовлетворяет, однако прежний алгоритм деления с остатком требует поправки (для <math>x\in R</math> и <math>d'(b) = d(bx)</math> делится <math>ax</math> на <math>bx</math> с остатком: <math>ax = bxq' + r'x</math>, где <math>r' = a - bq'</math> и <math>d(r'x)<d(bx)=d'(b)</math>, а так как из определения следует <math>d'(r')\leqslant d(r'x)</math>, получается искомое представление <math>a = bq' + r'</math> с <math>d'(r')<d'(b)</math>).
 
== Алгоритм Евклида ==
В евклидовом кольце осуществим [[алгоритм Евклида]] нахождения наибольшего общего делителя двух чисел (элементов). Пусть изначально даны два элемента <math>a_0</math> и <math>a_1</math>, причём <math>d(a_1)\leqslant d(a_0)</math> и <math>a_1\ne 0</math>. Деление с остатком даёт элемент <math>a_2 = a_0 - a_1q_1</math> с <math>d(a_2)<d(a_1)</math>. Если он не равен нулю, можно опять применить деление с остатком, и получить элемент <math>a_3 = a_1 - a_2q_2</math>, и так далее. Таким образом генерируется цепочка значений <math>a_0, a_1, a_2, \dots</math> с <math>d(a_0)>d(a_1)>d(a_2)>\dots</math>. Однако эта цепочка прерывается, поскольку всякое [[натуральное число]] может строго превосходить лишь конечное количество других натуральных чисел. Это означает, что при некотором <math>n</math> остаток <math>a_{n+1}</math> равен нулю, а <math>a_n</math> не равен, он и есть [[наибольший общий делитель]] элементов <math>a_0</math> и <math>a_1</math>. Следовательно, в евклидовом кольце гарантировано завершение алгоритма Евклида. Строго говоря, именно в евклидовых кольцах и возможна реализация алгоритма Евклида.
 
== Свойства евклидовых колец ==
* В евклидовом кольце каждый [[Идеал (алгебра)|идеал]] — главный (в частности, все евклидовы кольца [[Нётерово кольцо|нётеровы]]).
** Пусть <math>I</math> — произвольный идеал в евклидовом кольце. Если он содержит лишь <math>0</math>, — он главный. В противном случае среди его ненулевых элементов найдётся элемент <math>f</math> с минимальной нормой (принцип минимума для натуральных чисел). Он делит все остальные элементы идеала: представив произвольный элемент <math>g \in I</math> в виде <math>g = fq + r</math> с <math>d(r) < d(f)</math> получается, что <math>r</math> — тоже элемент идеала <math>I</math> и он обязан быть нулём, так как его норма меньше, чем у <math>f</math>. Следовательно, идеал <math>I</math> содержится в идеале <math>(f)</math>. С другой стороны, всякий идеал, содержащий элемент <math>f</math>, содержит идеал <math>(f)</math>, откуда следует, что <math>I = (f)</math> — главный идеал.
* Каждое евклидово кольцо факториально, то есть каждый элемент представим конечным произведением простых элементов, и притом однозначно (с точностью до их перестановки и умножения на обратимые элементы). Факториальность — общее свойство всех [[кольцо главных идеалов|колец главных идеалов]].