Замкнутое множество: различия между версиями

-повторы и тексты из других статей, более релевантная литература и категоризация
(Утверждение "Всякое замкнутое множество на числовой прямой либо конечно, либо счётно, либо имеет мощность континуума" бессодержательно, так как любое подмножество числовой прямой или конечно, или счетно, или имеет мощность континуума.)
Метка: ручная отмена
(-повторы и тексты из других статей, более релевантная литература и категоризация)
 
'''За́мкнутое мно́жество''' — подмножество <math>V</math> [[Топологическое пространство|топологического пространства]] <math>X</math> с топологией <math>\mathcal T</math>, [[разностьДополнение (теория множеств)|дополнение]] к которому [[открытое множество|открыто]]: <math>X \setminus V \in \mathcal T</math>.
{{другие значения термина|Замыкание|Замыкание}}
'''За́мкнутое мно́жество''' — подмножество пространства, [[разность множеств|дополнение]] к которому [[открытое множество|открыто]].
 
*[[Пустое множество]] <math>\varnothing</math> всегда замкнуто (и, в то же время, открыто). Отрезок <math>[a,b] \subset \R</math> замкнут в стандартной топологии на [[вещественное число|вещественной прямой]], так как его дополнение открыто. Множество <math>\mathbb{Q} \cap [0,1]</math> замкнуто в пространстве [[Рациональное число|рациональных чисел]] <math>\mathbb{Q}</math>, но не замкнуто в пространстве всех вещественных чисел <math>\mathbb{R}</math>.
== Определение ==
Пусть дано [[топологическое пространство]] <math>(X,\mathcal{T})</math>.
[[Множество]] <math>V \subset X</math> называется '''замкнутым''' относительно топологии <math>\mathcal{T}</math>, если существует [[открытое множество]] <math>U \in \mathcal{T}</math> такое, что <math>U = X \setminus V</math>.
 
[[Замыкание (топология)|ЗамыканиемЗамыкание]] множества <math>U</math> топологического пространства <math>X</math> называют — минимальное по включению замкнутое множество <math>Z</math>, содержащее <math>U</math>. Множество замкнуто тогда и только тогда, когда совпадает со своим замыканием.
== Замыкание ==
[[Замыкание (топология)|Замыканием]] множества <math>U</math> топологического пространства <math>X</math> называют минимальное по включению замкнутое множество <math>Z</math>, содержащее <math>U</math>.
 
*{{Якорь|Канонически замкнутое множество}}Важный подкласс замкнутых множеств образуют '''канонически замкнутые множества''', каждое из которых является [[замыкание (геометрия)|замыканием]] какого-либо открытого множества (и, следовательно, совпадает с замыканием своей внутренности). В каждом замкнутом множестве <math>F</math>&nbsp;  содержится максимальное канонически замкнутое множество  — им будет замыкание внутренности множества <math>F</math>&nbsp;<ref>{{книга|автор=[[Александров, Павел Сергеевич|Александров П. С.]], Пасынков В. А.&nbsp;|заглавие=Введение в теорию размерности|место=М.|издательство=Наука|год=1973|страниц=576}}  — C. 24.</ref>.
Замыкание множества <math>U \subset X</math> обычно обозначается <math>\bar U</math>, <math>\mathop{\rm Cl}U</math> или <math>\mathrm{Cl}_X U</math>;
последнее обозначение используется, если надо подчеркнуть, что <math>\bar U</math> рассматривается как множество в пространстве <math>X</math>.
 
== Свойства ==
* Множество <math>U</math> замкнуто тогда и только тогда, когда <math>\bar U=U</math>.
 
== Примеры ==
* [[Пустое множество]] <math>\varnothing</math> всегда замкнуто (и, в то же время, открыто).
* Отрезок <math>[a,b] \subset \mathbb{R}</math> замкнут в стандартной топологии на [[вещественное число|вещественной прямой]], так как его дополнение открыто.
* Множество <math>\mathbb{Q} \cap [0,1]</math> замкнуто в пространстве [[Рациональное число|рациональных чисел]] <math>\mathbb{Q}</math>, но не замкнуто в пространстве всех вещественных чисел <math>\mathbb{R}</math>.
 
== Вариации и обобщения ==
 
* Важный подкласс замкнутых множеств образуют '''канонически замкнутые множества''', каждое из которых является [[замыкание (геометрия)|замыканием]] какого-либо открытого множества (и, следовательно, совпадает с замыканием своей внутренности). В каждом замкнутом множестве <math>F</math>&nbsp; содержится максимальное канонически замкнутое множество — им будет замыкание внутренности множества <math>F</math>&nbsp;<ref>{{книга|автор=[[Александров, Павел Сергеевич|Александров П. С.]], Пасынков В. А.&nbsp;|заглавие=Введение в теорию размерности|место=М.|издательство=Наука|год=1973|страниц=576}} — C. 24.</ref>.
 
== См. также ==
* [[Открытое множество]]
* [[Замыкание (геометрия)]]
 
== Примечания ==
 
== Литература ==
* {{книга|автор=[[ЗавалоЭнгелькинг, Сергей Трофимович|Завало СР. Т.]]&nbsp;|заглавие=ЕлементиОбщая аналізу. Алгебра многочленівтопология|место=Київ{{М.}}|издательство=Радянська[[Мир школа(издательство)|Мир]]|год=19721986|страниц=752|ref=ЗавалоЭнгелькинг}}
* {{книга|автор=Колмогоров А. Н.Келли, Фомин СДж. ВЛ.&nbsp;|заглавие=ЭлементыОбщая теории функций и функционального анализатопология|место={{М.}}|издательство=ФизматлитНаука|год=2004|страниц=575|isbn=5-9221-0266-41968|ref=Колмогоров, ФоминКелли}}
* {{книга|автор=Фихтенгольц Г. М.&nbsp;|заглавие=Основы математического анализа|место=М.|издательство=Наука|год=1954|ref=Фихтенгольц}}
 
 
 
[[Категория:Математический анализ]]
[[Категория:Функциональный анализ]]
[[Категория:Общая топология]]