Нормирование (алгебра): различия между версиями
| [отпатрулированная версия] | [отпатрулированная версия] |
Содержимое удалено Содержимое добавлено
Zergeist2 (обсуждение | вклад) Нет описания правки |
м оформление |
||
Строка 2:
{{Перенаправление|Абсолютное значение|Абсолютная величина|о значении Абсолютная величина}}
{{Не путать|Норма (математика)|нормой}}
'''Норми́рование''' — отображение элементов [[Поле (алгебра)|поля]] <math>F</math> или [[целостное кольцо|целостного кольца]] в некоторое [[упорядоченное поле]] <math>P</math> <math>x\mapsto
: 1) <math>
: 2) <math>
: 3) <math>
Если вместо 3) выполняется более сильное условие:
: 3a) <math>
Значение <math>
Нормы <math>
== Примеры нормирований ==
* Нормирование, при котором <math>
* Обычная [[абсолютная величина]] в поле [[Вещественное число|вещественных чисел]] <math>\mathbb{R}</math> и модуль в поле [[Комплексное число|комплексных чисел]] <math>\mathbb{C}</math> являются нормированием.
* Пусть <math>\mathbb{Q}</math> — поле рациональных чисел, а <math>p</math> — некоторое [[простое число]]. Любое рациональное число можно представить в виде дроби <math>x=p^n\frac{a}{b}</math>, где <math>a</math> и <math>b</math> не кратны <math>p</math>. Можно определить следующее нормирование <math>|x|_p=p^{-n}</math>. Это нормирование является неархимедовым и называется ''p-адическим нормированием''.
Строка 30:
3b) |1+1+…+1|≤''A''
-->
: 3b) <math>
Пусть данное условие выполнено. Тогда для любых элементов <math>x</math> и <math>y</math> из поля <math>F</math> имеем:
Строка 42:
== Нормированное поле как метрическое пространство ==
Из свойств 1-3 немедленно следует, что, определяя расстояние между двумя элементами вещественнозначного нормированного поля <math>F</math> как норму разности <math>
=== Пополнение ===
Как и для любого метрического пространства, можно ввести понятие [[Полное метрическое пространство|полноты]] и [[Полное метрическое пространство#Пополнение|доказать]], что любое нормированное поле <math>F</math> изоморфно вкладывается в полное нормированное поле <math>F^*</math>, то есть существует изоморфизм <math>i:F \rightarrow F^*</math>. Норма в <math>F^*</math> продолжает норму в <math>F</math>, то есть для каждого <math>x</math> из <math>F</math>: <math>
'''Пример.''' Пополнением поля рациональных чисел <math> \mathbb{Q} </math> с p-адической метрикой является поле [[p-адическое число|p-адических]] чисел <math> \mathbb{Q}_p </math>.
| |||