|
Последовательность точек <math>\{x_n\}_{n=1}^\infty</math> метрического пространства <math>(X, \rho)</math> называется '''фундаментальной''', если она удовлетворяет '''критерию Коши''':
:Для всякого <math>\varepsilon > 0</math> найдётся такое [[натуральное число|натуральное]] <math>N</math>, что <math>\rho(x_{n}, x_{m}) < \varepsilon\ </math> для всех <math> n, m > N</math>.
== Числовая последовательность ==
<math>\{x_n\}</math> фундаментальна, если <math>\forall\varepsilon>0\;\exists N:|x_m-x_n|< \varepsilon,\;\forall n,m>N</math>.
Фундаментальная числовая последовательность ограничена, поскольку найдётся <math>N(1)</math>, начиная с которого элементы последовательности отличаются от <math>x_N</math> меньше чем на <math>1</math>. Тогда <math>\forall k: x_k\leqslant\max(|x_1|,|x_2|,\ldots,|x_N|,|x_N| + 1)</math> и <math>\forall k: x_k\geqslant\min(|x_1|,|x_2|,\ldots,|x_N|,|x_N| - 1)</math>.
Если найдётся подпоследовательность фундаментальной последовательности, сходящаяся к <math>a</math>, то сама последовательность сойдётся к <math>a</math>. При подпоследовательности <math>\{x_{n_k}\}</math> имеем <math>|x_n-x_{n_k}|<\varepsilon</math> (<math>n_k \geqslant k > N</math>). Для <math>k\to\infty</math> получим <math>|x_n-a|<\varepsilon</math>.
Поскольку фундаментальная последовательность ограничена, по [[Теорема Больцано — Вейерштрасса|теореме Больцано — Вейерштрасса]] в ней можно выделить сходящуюся подпоследовательность. Откуда следует, что всякая '''фундаментальная последовательность сходится'''.
С другой стороны, если последовательность сходится, то она фундаментальна. Действительно, <math>|x_m-x_n|\leqslant |x_m-a|+|x_n-a|<2\varepsilon</math>.
== Связанные определения ==
| 