Википедия

Естественное преобразование: различия между версиями

Интерактивная навигация по истории
(Показать все непатрулированные изменения)
[непроверенная версия][непроверенная версия]
← Предыдущая правкаСледующая правка →
Содержимое удалено Содержимое добавлено
ВизуальныйВики-текст
TeX в определении
Строка 7:
== Примеры ==
 
Примером естественного преобразования может служить [[определитель]]. В самом деле пусть ''<math>R''</math> — коммутативное [[Кольцо (алгебра)|кольцо]], тогда квадратные [[Матрица (математика)|матрицы]] порядка ''<math>n''</math> над ''<math>R''</math> образуют [[моноид]] по умножению, а ''<math>R' ''</math> — мультипликативный моноид самого кольца ''<math>R''</math>. Пусть ''Mat<submath>n\mathbf{Mat}_n(R)</submath>(R)'' будет функтором, переводящим кольцо ''<math>R''</math> в моноид матриц над ним. Поскольку определитель выражается через умножение, сложение и вычитание, которые сохраняются (что означает перестановочность морфизма и этих операций) морфизмами кольца ''<math>R''</math>, то отображение ''Mat<sub>n</submath>\mathbf{Mat}_n(R)→det\rightarrow \det(\mathbf{Mat<sub>n</sub>}_n(R))''</math> будет естественным преобразованием между функтором ''Mat<submath>n\mathbf{Mat}_n(R)</submath>(R)'' и функтором, тождественно сопоставляющим каждому кольцу ''<math>R''</math> его мультипликативный моноид (оба функтора из категории '''<math>\mathbf{CRing'''}</math> коммутативных колец в категорию моноидов '''<math>\mathbf{Mon'''}</math>).
 
Приведём пример «неестественного» преобразования . Пусть ''V'' — ''n''-мерное векторное пространство над [[Поле (алгебра)|полем]] ''F''. <math>e_1,e_2,\dots,e_n</math> — его базис, <math>e^1,e^2,\dots,e^n</math> — базис сопряжённого пространства [[функционал]]ов ''D(V)'', такой, что ''e<sup>i</sup>(e<sub>j</sub>)=&delta;<sup>i</sup><sub>j</sub>'' ([[Дельта Кронекера|символ Кронекера]]). Все ''n''-мерные пространства изоморфны. Положим ''k(e<sub>i</sub>)=e<sup>i</sup>'' и распространим ''k'' линейно на всё пространство ''V k:V→D(V)''; ''k'' отображает тождественный (очевидно ковариантный) функтор ''I'' в контравариантный функтор ''D'', отображающий векторное пространство в сопряженное пространство функционалов. Если мы возьмём категорию конечномерных векторных пространств где морфизмами будут изоморфизмы ''f'' (а не любые линейные отображения), то можно заменить контравариантный функтор ''D'' ковариантным функтором ''D' '' (где ''D'(V)=D(V), D'(f)=D(f<sup>&nbsp;-1</sup>))''. Преобразование ''k:V→D(V)'' не будет естественным даже в простейшем случае одномерного пространства над полем действительных чисел. В самом деле, пусть ''V'' одномерно и изоморфизм ''f:V→V'' является умножением на 2 — ''f(e<sub>1</sub>)=2e<sub>1</sub>'', тогда '' D'(f)(k(e<sub>1</sub>)=&frac12;e<sup>1</sup>'', в то время как ''k(f(e<sub>1</sub>)=2e<sup>1</sup>'', то есть диаграмма некоммутативна.
Источник — https://ru.wikipedia.org/wiki/Естественное_преобразование