Компактификация: различия между версиями

179 байт добавлено ,  2 месяца назад
Функция «Добавить ссылку»: добавлено 4 ссылки.
(→‎Примеры: орфография)
(Функция «Добавить ссылку»: добавлено 4 ссылки.)
 
 
== Одноточечная компактификация ==
'''Одноточечная компактификация''' (или '''компактификация [[Александров, Павел Сергеевич|Александрова]]''') устроена следующим образом. Пусть <math>Y=X \cup \{\infty\}</math> и [[Открытое множество|открытыми множествами]] в <math>Y</math> считаются все открытые множества <math>X</math>, а также множества вида <math>O \cup \{\infty\}</math>, где <math>O \subseteq X</math> имеет замкнутое и компактное (в <math>X</math>) дополнение. <math>f</math> берётся как естественное вложение <math>X</math> в <math>Y</math>. <math>(Y,\; f)</math> тогда компактификация, причём <math>Y</math> хаусдорфово тогда и только тогда, когда <math>X</math> [[Хаусдорфово пространство|хаусдорфово]] и [[локально компактное пространство|локально компактно]].
 
=== Примеры ===
 
* <math>\R \cup \{\infty\}</math> с топологией, сконструированной как указано выше, является компактным пространством. Нетрудно доказать, что если два пространства гомеоморфны, то и соответствующие одноточечные компактификации гомеоморфны.
** В частности, так как [[окружность]] на плоскости без одной точки гомеоморфна с <math>\R</math> (пример гомеоморфизма — [[стереографическая проекция]]), целая окружность гомеоморфна с <math>\R \cup \{\infty\}</math>.
** Аналогично, <math>\mathbb R^n \cup \{\infty\}</math> гомеоморфно <math>n</math>-мерной [[Гиперсфера|сфере]].
 
== Компактификация Стоуна — Чеха ==
 
На компактификациях некоторого фиксированного пространства <math>X</math> можно ввести [[Частично упорядоченное множество|частичный порядок]].
Положим <math>f_1 \leqslant f_2</math> для двух компактификаций <math>f_1: X \to Y_1</math>, <math>f_2: X \to Y_2</math>, если существует непрерывное отображение <math>g: Y_2 \to Y_1</math> такое, что <math>g f_2 = f_1</math>.
Максимальный (с точностью до [[гомеоморфизм]]а) элемент в этом порядке называется '''[[Компактификация Стоуна — Чеха|компактификацией Стоуна — Чеха]]'''<ref>Также «стоунчеховская компактификация» и «чехстоунова компактификация».</ref> и обозначается <math>\beta X</math>.
Для того, чтобы у пространства <math>X</math> существовала компактификация Стоуна — Чеха, удовлетворяющая [[аксиомы отделимости|аксиоме отделимости]] Хаусдорфа, [[Необходимое и достаточное условия|необходимо и достаточно]], чтобы <math>X</math> удовлетворяло аксиоме отделимости <math>T_{3\frac{1}{2}}</math>, то есть было [[Вполне_регулярное_пространство|вполне регулярным]].
 
== Примечания ==