Теорема о сумме углов треугольника: различия между версиями

дубль примечания
мНет описания правки
(дубль примечания)
[[Файл:TriangleWithLine.gif|thumb|250px|right|Треугольник]]
'''[[Теорема]] о сумме углов [[треугольник]]а''' — классическая теорема [[Евклидова геометрия|евклидовой геометрии]].
 
== Формулировка ==
Сумма углов треугольника на евклидовой плоскости равна 180[[Градус, минута, секунда|°]].<ref>[https://arxiv.org/pdf/1806.06942.pdf Геометрия по Киселёву], § 81.</ref>
 
== Доказательство ==
 
== Следствия ==
* В треугольнике не может быть двух тупых или двух прямых углов, потому что тогда сумма углов была бы больше 180°. По той же причине треугольник не может содержать тупой и прямой углы одновременно.
* У любого треугольника не меньше двух острых углов. Действительно, случай, когда у треугольника только один острый угол или вообще нет острых углов, противоречит предыдущему следствию.
* В [[Прямоугольный треугольник|прямоугольном треугольнике]] оба угла при гипотенузе  — острые.
* В [[Равнобедренный треугольник|равнобедренном треугольнике]] углы при основании равны, поэтому тупым может быть только угол, противолежащий основанию.
* В равнобедренном прямоугольном треугольнике углы при гипотенузе равны (180° - — 90°) /2 = 45°.
* В [[Равносторонний треугольник|равностороннем треугольнике]] все три угла совпадают и поэтому равны 180° / 3 = 60°.
* ([[Теорема о внешнем угле треугольника]]) Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним{{sfn |Элементарная математика|1976|с=421}}.
 
=== В неевклидовых геометриях ===
[[FileФайл:Triangolo_sferico.jpg|thumb|[[Сферический треугольник]]]]
Приведённое в этой статье доказательство опирается на определённое свойство параллельных прямых, а именно  — утверждение о том, что внутренние накрест лежащие углы при параллельных прямых равны. Доказательство этого утверждения, в свою очередь, использует [[Аксиома параллельности|аксиому параллельности]] евклидовой геометрии. Можно показать, что ''любое'' доказательство теоремы о сумме углов треугольника будет использовать аксиому параллельности, и наоборот  — из утверждения, что сумма углов треугольника равна 180°, можно вывести аксиому параллельности, если даны остальные аксиомы классической геометрии ([[абсолютная геометрия]])<ref>{{книга |автор=Лелон-Ферран Ж. |заглавие=Основания геометрии |место=М. |издательство=Мир |год=1989 |страниц=312 |страницы=255—256 |isbn=5-03-001008-4 }}</ref>.
 
Таким образом, равенство суммы углов треугольника 180° является одним из основных признаков именно евклидовой геометрии, отличающих её от неевклидовых, в которых аксиома параллельности не выполняется:
 
* На [[Сферическая геометрия|сфере]] сумма углов [[Сферический треугольник|треугольника]] всегда превышает 180°, разница называется [[Эксцесс (сферическая тригонометрия)|сферическим избытком]] и пропорциональна площади треугольника. У сферического треугольника могут быть два или даже три прямых или тупых угла.
:: Пример. Одна вершина треугольника на сфере  — северный полюс. Этот угол может иметь значение до 180°. Две другие вершины лежат на экваторе, соответствующие углы равны 90°.
* В [[Геометрия Лобачевского|геометрии Лобачевского]] сумма углов треугольника всегда меньше 180° и может быть сколь угодно малой. Разность также пропорциональна площади треугольника.
 
[[Категория:Теоремы планиметрии]]
[[Категория:Углы]]
[[Категория:Теоремы планиметрии]]