Функция Мёбиуса: различия между версиями
| [непроверенная версия] | [непроверенная версия] |
Содержимое удалено Содержимое добавлено
Функция «Добавить ссылку»: добавлено 8 ссылок. |
|||
Строка 25:
* <math>\sum\limits_{k=1}^n \mu(k)\left[\frac{n}{k}\right]=1.</math>
* <math>\sum\limits_{k=1}^{\infty} \frac{\mu(k n)}{k}=0,</math> где n - положительное [[целое число]].
* <math>\sum\limits_{k=1}^{\infty} \frac{\mu(k)\ln k}{k}=-1.</math>
Строка 33:
: <math>\sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{\mu(n)}{n^{s}} = \frac{1}{\zeta(s)}</math>.
Ряд [[Абсолютная сходимость|абсолютно сходится]] при <math>{\rm Re}\, s >1</math>, на прямой <math>{\rm Re}\, s = 1</math> [[Условная сходимость|сходится условно]], в области <math>1/2 < {\rm Re}\, s < 1</math> утверждение об условной сходимости ряда эквивалентно [[гипотеза Римана|гипотезе Римана]], а при <math>{\rm Re}\, s < 1/2</math> ряд заведомо не сходится, даже условно.
При <math>{\rm Re}\, s >1</math> справедлива также формула:
Строка 50:
: <math>\frac{1}{x}\sum\limits_{n\leq x} |\mu(n)| = \frac{1}{\zeta(2)} + O(\frac{1}{\sqrt x}) </math>,
из которых следует, что существует [[асимптотическая плотность]] распределения значений функции Мёбиуса. [[Линейная плотность]] множества её нулей равна <math>1 - 1/\zeta(2) = 0,3920729</math>, а плотность множества единиц (или минус единиц) <math>1/2\zeta(2) = 0,30396355</math>. На этом факте основаны теоретико-вероятностные подходы к изучению функции Мёбиуса.
== Обращение Мёбиуса ==
Строка 76:
=== Определение ===
[[Обобщённая функция]] Мёбиуса рекуррентно определяется соотношением.
: <math>{\mu_A^*}(a,b) = \begin{cases}1, & a=b \\ -\sum \limits_{a \preccurlyeq z \prec b} {{\mu_A^*}(a,z)}, & a \prec b \\ 0, & a \not\preccurlyeq b\end{cases}</math>
=== Формула обращения ===
Пусть функции <math>g</math> и <math>f</math> принимают [[Вещественное число|вещественные значения]] на множестве <math>A</math> и выполнено условие <math>g(x) = \sum \limits_{y \preccurlyeq x} {f(y)}</math>.
Тогда <math>f(x) = \sum \limits_{y \preccurlyeq x} {{\mu_A^*}(y,x) g(y)}</math>
Строка 87:
Если взять в качестве <math>A</math> множество натуральных чисел, приняв за отношение <math>a \prec b</math> отношение <math>a \mid b \land a \not = b</math>, то получим <math>{\mu_{\mathbb N}^*}(a,b) = \mu\left({\frac{b}{a}}\right)</math>, где <math>\mu</math> - классическая функция Мёбиуса.
Это, в частности, означает, что <math>\mu(n)={\mu_{\mathbb N}^*}(1,n)</math>, и далее определение классической функции Мёбиуса следует по индукции из определения обобщённой функции и тождества <math>\sum \limits_{k=1}^{n} {(-1)^k C_n^k} = 0</math>, так как суммирование по всем делителям числа, не делимого на [[полный квадрат]], можно рассматривать как суммирование по [[Булеан|булеану]] его простых множителей, перемножаемых в каждом элементе булеана.
== См. также ==
| |||