Признак д’Аламбера: различия между версиями
| [непроверенная версия] | [непроверенная версия] |
Содержимое удалено Содержимое добавлено
→Примеры: добавил ещё признак |
Нет описания правки |
||
Строка 19:
'''Замечание 2.''' Если <math>\rho=1</math>, и последовательность <math>\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|</math> стремится к своему пределу <math>\rho</math> сверху, то про ряд все-таки можно сказать, что он расходится.
== Признак сходимости д'Аламбера в форме функции Быкова-Сахарчука ==
Если существует предел
<math>\rho=\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|,</math>
то рассматриваемый ряд является обобщенным гармоническим рядом, которых сходится при всех степенях a
== Доказательство ==
#
# Пусть <math>\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|\ge1</math> (начиная с некоторого N): тогда можно записать <math>\left| {{a_{n + 1}}} \right| \ge \left| {{a_n}} \right|</math>. Это означает, что модуль членов последовательности <math>\{ a\} </math> не стремится к нулю на бесконечности, а значит, и сама последовательность <math>\{ a\} </math> не стремится к нулю. Тогда необходимое условие сходимости любого ряда не выполняется, и ряд поэтому расходится.
# Пусть <math>\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|<1</math>, начиная с некоторого <math>n=N</math>. При этом не существует такого <math>q </math>, <math>0<q<1 </math>, что <math>\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|\leqslant q</math> для всех <math>n</math>, начиная с некоторого номера <math>N</math>. В этом случае ряд может как сходиться, так и расходиться. Например, оба ряда <math>\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n}</math> и <math>\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n^2}</math> удовлетворяют этому условию, причём первый ряд (гармонический) расходится, а второй сходится. Действительно, для ряда <math>\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n}</math> верно <math>\left| {\frac{{{a_{n + 1}}}}{{{a_n}}}} \right| = \frac{n}{{n + 1}} = 1 - \frac{1}{{n + 1}} < 1</math> для любого натурального <math>n</math>. В то же время, поскольку <math>\lim_{n\to\infty}\left| {\frac{{{a_{n + 1}}}}{{{a_n}}}} \right| = 1</math>, это означает, что для любого <math>q </math>, <math>0<q<1 </math> можно подобрать такое число <math>\varepsilon</math>, что <math>1 - \varepsilon > q</math> , и при этом, начиная с некоторого номера, все члены последовательности <math>\{ b\} </math>, где <math>{b_n} = \left| {\frac{{{a_{n + 1}}}}{{{a_n}}}} \right|</math>, будут находиться на интервале <math>(1 - \varepsilon ;1)</math>, т.е. <math>{b_n} >q</math>. А это и означает, что не существует такого <math>q </math>, <math>0<q<1 </math>, что <math>\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|\leqslant q</math> для всех <math>n>N</math>. Эти рассуждения можно повторить и для второго ряда.
| |||