Гравитационная энергия: различия между версиями
| [отпатрулированная версия] | [непроверенная версия] |
Содержимое удалено Содержимое добавлено
Shogiru (обсуждение | вклад) →Гравитационно-связанные системы: дополнение |
Ifor (обсуждение | вклад) →В классической механике: Добавил описание потенциальной энергии в случае распределенной массы большего тела. |
||
Строка 43:
: <math>U_g = mgh.</math>
В частности, эта формула применяется для вычисления потенциальной энергии тел, находящихся вблизи поверхности Земли.
Отрицательность потенциальной энергии здесь вызвана тем, что невозможно принять за точку отсчета геометрический центр тела (т.е. <math>R = 0</math>) одновременно с принятием гипотезы о том, что тело представляет собой материальную точку. В этом случае потенциальная энергия будет стремится к бесконечности в центре (образуется сингулярность). По этому за точку отсчета потенциальной энергии принято считать бесконечно удаленную точку. Знак "минус" при этом просто говорит, что потенциальная энергия уменьшается при отдалении от тело.
Однако, при необходимости, сингулярности можно избежать, приняв, что вся масса большего тела не сосредоточена в точке, а равномерно распределена в шаре с радиусом <math>R_M</math>. Оказывается, что в этом случае сила притяжения внутри тела будет описываться линейной зависимостью относительно <math>R</math> (т.е. она представляет собой силу упругости), а снаружи как и прежде - пропорционально обратному квадрату.
<math>F_g = m g \cdot \left\{\begin{matrix} \bar R & , \bar R \le 1 \\ \bar R^{-2} & , \bar R > 1 \end{matrix} \right.,</math>
где <math>g</math> - ускорение свободного падения у поверхности большего тела; <math>\bar R = R / R_M</math> - нормированное расстояние от центра большего тела, при этом <math>\bar R = 1</math> соответствует уровню поверхности, <math>\bar R < 1</math> - положению под поверхностью, а <math>\bar R > 1</math> положению над поверхностью.
Потенциальная энергия при этом, если принять, что в центре тела она равна нулю, будет описываться как
<math>U_g = U_s \cdot \left\{\begin{matrix} \bar R^2 & , \bar R \le 1 \\ 3 - \frac{2}{\bar R} & , \bar R > 1 \end{matrix} \right.,</math>
где <math>U_s = \frac{m g R_M}{2} = \frac{G M m}{2 R_M}</math> - потенциальная энергия у поверхности тела. Потенциальная энергия в бесконечно удаленной точке равна
<math>U_\infty = 3 U_s = \frac{3 G M m}{2 R_M}</math>.
Сравнив потенциальную энергию на поверхности и в бесконечности с кинетической энергией, можно определить характерные для рассматриваемого тела скорости:
<math>v_1 = \sqrt{g R_M}</math> - минимально необходимая скорость малого тела для того, чтобы достичь поверхности большего тела из его центра. Или максимальная скорость малого тела, брошенного вниз в вертикальный тоннель. Она же в точности равняется скорости движения по круговой орбите у поверхности большего тела (первая космическая скорость).
<math>v_2 = \sqrt{2 g R_M}</math> - Минимальной скорость убегания малого тела в бесконечность с поверхности большого тела (вторая космическая скорость).
<math>v_{20} = \sqrt{3 g R_M}</math> - Минимальной скорость убегания малого тела в бесконечность из центра большого тела (аналог второй космической скорости при "стрельбе" малым телом из центра большего тела).
Если сравнить силу тяготения с центробежной силой, то можно получить величину требуемой скорости малого тела для движения по круговой орбите вокруг центра большего тела
<math>v_o = v_1 \cdot \left\{\begin{matrix} \bar R & , \bar R \le 1 \\ \bar R ^{-\frac{1}{2}} & , \bar R > 1 \end{matrix} \right.</math>.
Из особенности тяготения внутри большего тела, малое тело движется внутри него так, как будто бы подцепленно за конец вооброжаемой пружины, другой конец которой прикреплён к центру тела. Если бросить такое тело вертикально вниз в вооброжаемый вакуумный тоннель, проходящий через центр планеты насквозь, то оно будет совершать гармонические колебания с периодом
<math>T_g = 2 \pi \sqrt{\frac{R_M}{g}}</math>,
что для Земли равняется 5064 с или 1 час, 24 минуты, 24 секунды. Жёсткость такой вооброжаемой пружины равняется
<math>k_g = \frac{m g}{R_M} = \frac{G M m}{R_M^3}</math>.
== В [[Общая теория относительности|ОТО]] ==
| |||