Тензор напряжений: различия между версиями
| [непроверенная версия] | [отпатрулированная версия] |
Содержимое удалено Содержимое добавлено
V1adis1av (обсуждение | вклад) оформление, дополнение, пунктуация |
|||
Строка 1:
[[Файл:Components_stress_tensor_cartesian.svg|справа|мини|370x370пкс|Полный тензор механического напряжения элементарного объёма тела.]]
'''Те́нзор напряже́ний''' (иногда '''тензор напряжений Коши''', '''тензор натяжений''') — [[тензор]] второго ранга,
: <math>\boldsymbol{\sigma}=\left[{\begin{matrix} \mathbf{T}^{(\mathbf{e}_1)} \\
Строка 23:
\end{matrix}}\right]
</math>
: а в случае двумерного тела (см. пример ниже) матрицей
: <math>\boldsymbol{\sigma}=\left[{\begin{matrix} \mathbf{T}^{(\mathbf{e}_1)} \\
\mathbf{T}^{(\mathbf{e}_2)} \\
Строка 46:
В случае матричной записи (в [[Прямоугольная система координат|декартовой системе координат]]) величины <math>\sigma_{ij}</math>(компоненты тензора напряжений), описывают напряжения испытываемые телом в какой-то заданной точке. В данной точке проводятся умозрительные плоскости с [[Нормаль|нормалями]] <math>\color{Red}e_{1}</math>, <math>\color{Red}e_{2}</math>, ... Нормальные компоненты сил, действующих на данные плоскости, записываются на главной диагонали <math>\sigma_{11}</math>, <math>\sigma_{22}</math>, ..., а в остальных позициях стоят ''касательные'' компоненты <math>\tau_{yx}</math>, <math>\tau_{xy}</math>, ... векторов напряжений на этих плоскостях.
В случае больших деформаций (конечные деформации), приходится использовать такие подходы как ''
== Физический смысл тензора напряжений на примере в двумерном случае ==
Строка 59:
Каждой точке на поверхности отрезка ткани соответствует своё уникальное значение <math>\mathbf{T}</math> напряжения. Это значит, что каждой точке <math>(x_0,y_0)</math> ткани соответствует свой математический объект — <math>\mathbf{T}</math> — тензор второго ранга.
Чтобы понять, как тензор <math>\mathbf{T}</math> показывает состояние напряжения в какой-нибудь точке ткани, можно сделать маленький разрез в данной точке и понаблюдать, в каком направлении будут расходиться данные разрезы. Так, на '''рис. А''' мы сделали два разреза в разных точках ткани: направление одного разреза <math>\color{red}c</math> показано красной пунктирной линией, направление другого <math>\color{blue}c</math> — синей пунктирной линией. Чтобы математически описать направление данных разрезов, используется вектор нормали (вектор, перпендикулярный плоскости разреза). Так, у
Для предсказания того, куда будет развиваться разрез, как раз и используется тензор напряжений. Математически данное предсказание выглядело бы так:
# Определить
# Выбрать точку в теле, например, <math>(x_0,y_0),</math> и из <math>f(x,y) </math> получить тензор, который описывает состояние напряжения в точке <math>\mathbf {T_{x_0,y_0}}. </math>
# Определить направление плоскости <math>\color{red}\vec{c}</math>, в которой будет проводиться разрез тела.
# Умножить направление разреза <math>\color{red}\vec{c}</math> в точке <math>(x_0,y_0)</math> на тензор напряжения в данной точке <math>\mathbf {T_{x_0,y_0}} </math>, что в математической записи выглядит как <math>{\mathbf{T_{x_0,y_0}} \color{red}\vec{c}} = \color{RedViolet}\vec{t}. </math>
# Вектор <math>\color{RedViolet}\vec{t} </math> и покажет, куда будет распространяться разрез <math>\color{red}\vec{c}</math> в точке <math>(x_0,y_0)</math>.
Разрезы <math>\color{red}\vec{c}</math> и <math>\color{blue}\vec{c}</math> — это вектора, а напряжение в точке <math>\mathbf {T}
Следует понимать, что разнонаправленные разрезы, совершённые в одной и той же точке тела, повлекут за собой различный отклик ткани. Данное явление показано на '''рис. Б''', где разрастание разрыва ткани происходит по разным направлениям <math>\color{RedViolet}\vec{t}</math> и с разной интенсивностью <math>||{\color{RedViolet}\vec{t}}||</math>, в ответ на различные направления первоначальных разрезов <math>\color{red}\vec{c}</math> и <math>\vec{c}</math>, совершённых в '''одной и той же''' точке.
Строка 88:
:<math> \sigma_{12} = \frac{ d F_{12}}{dS_{1}}</math> и т. д.
При отсутствии собственного момента импульса сплошной среды, а также
== Тензор напряжений в релятивистской физике ==
Строка 94:
== Тензор напряжений в классической электродинамике ==
В [[классическая электродинамика|классической электродинамике]] тензор напряжений [[электромагнитное поле|электромагнитного поля]] (''максвелловский тензор напряжений''<ref>{{Книга:Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М.: Теория поля|1988|авторы|страницы=115}}</ref>, ''тензор натяжений Максвелла''<ref>{{
: <math> T_{ij} = E_i D_j + B_i H_j - \frac{1}{2}\delta_{ij}(\mathbf E \cdot \mathbf D + \mathbf B \cdot \mathbf H) = E_i D_j + B_i H_j - \delta_{ij}W,</math>
| |||