Нестандартный анализ: различия между версиями

[отпатрулированная версия][отпатрулированная версия]
Содержимое удалено Содержимое добавлено
Убрал дубликат
Метка: отмена
Функция «Добавить ссылку»: добавлено 2 ссылки.
Строка 15:
Рассматривается некоторая математическая структура <math>M</math> и строится логико-математический язык 1-го порядка, отражающий аспекты этой структуры, интересующие исследователя. Затем методами [[Теория моделей|теории моделей]] строятся нестандартная модель теории структуры <math>M</math>, являющаяся собственным расширением <math>M</math>.
При надлежащем построении новые, ''нестандартные'', элементы модели могут быть истолкованы как предельные, «идеальные» элементы первоначальной структуры.
Например, если первоначально рассматривалось [[упорядоченное поле]] вещественных чисел, то нестандартные элементы модели естественно рассматривать как «инфинитезимальные», то есть бесконечно большие или бесконечно малые, но отличные от нуля вещественные числа.
При этом все обычные отношения между вещественными числами автоматически переносятся и на нестандартные элементы с сохранением всех их свойств, выраженных в логико-математическом языке.
Подобным образом в [[фильтр (математика)|теории фильтров]] на данном множестве нестандартный элемент определяет непустое пересечение всех элементов фильтра; в топологии возникает семейство нестандартных точек, расположенных «бесконечно близко» к данной точке.
Строка 39:
Стандартный объект сам по себе часто бесконечен.
Скажем, стандартными являются не только конкретные натуральные числа 5, 7, 10 в степени 10 в степени 10, трансцендентные числа вроде {{math|π}} и {{math|е}}, но и полные совокупности всех натуральных чисел <math>\N</math> или всех вещественных чисел <math>\R</math>.
Поскольку <math>\N</math> — [[бесконечное множество]], то в <math>\N</math> имеется нестандартный элемент {{mvar|N}}. Очевидно, что {{mvar|N}} больше 1, ибо 1 — стандартное число.
Если число {{mvar|m}} стандартно, то стандартно и следующее за ним число {{math|''m'' + 1}}, ибо оно получается единственным образом из двух стандартных чисел.
Таким образом, каждое нестандартное натуральное число больше любого стандартного натурального числа. Поэтому нестандартные натуральные числа называются бесконечно большими. Число {{mvar|r}} бесконечно большое, если {{math|{{!}}''r''{{!}}}} больше какого-нибудь бесконечно большого натурального числа.