Равномерная непрерывность: различия между версиями

 

=== Определение ===

: <math>\forall \varepsilon > 0 \colon~\exist \delta = \delta(\varepsilon)>0 \colon~\forall x_1,x_2 \in M\colon~\bigl(|x_1-x_2| < \delta \bigr) \Rightarrow \bigl( |f(x_1)-f(x_2)| < \varepsilon\bigr),</math>

где <math>\forall,\exists</math> — [[Квантор всеобщности|кванторы всеобщности]] и [[Квантор существования|существования]] соответственно, а <math>\Rightarrow</math> — [[импликация]]. Здесь важно, что выбор <math>\delta</math> зависит только от величины <math>\varepsilon</math> и пригоден для любых <math>x_1, x_2.</math>

 

=== Примеры ===

Функция

: <math>f(x)=\frac{1}{x},\; x\in (0,1)</math>

 

=== Свойства ===

Из определения сразу следуют три свойства:

* Функция, равномерно непрерывная на множестве <math>M</math>, [[Непрерывное отображение|непрерывна]] на нём.

 

=== Некоторые признаки равномерной непрерывности функции ===

# [[Теорема о равномерной непрерывности]] ([[Кантор, Георг|Кантора]] — [[Гейне, Эдуард|Гейне]]): функция, непрерывная на [[Отрезок|замкнутом конечном промежутке]] (или на любом компакте), равномерно непрерывна на нём. При этом, если замкнутый конечный промежуток заменить на [[Промежуток (математика)#Открытый конечный промежуток|открытый]], функция может не оказаться равномерно непрерывной.

# Сумма, разность и [[Композиция функций|композиция]] равномерно непрерывных функций равномерно непрерывны<ref name=ME/>. Однако произведение равномерно непрерывных функций может не быть равномерно непрерывно. Например{{sfn |Шибинский|2007|с=528 (пункт 2.7)}}, пусть <math>f(x)=x;\ g(x)=\ln(x).</math> Обе функции равномерно непрерывны при <math>x \geqslant 1</math>, но их произведение не является равномерно непрерывным на <math>[1, +\infty)</math>. Для ограниченного промежутка произведение равномерно непрерывных функций всегда равномерно непрерывно<ref name=BUT11/>.