Единичный квадрат: различия между версиями

311 байт добавлено ,  3 месяца назад
Спасено источников — 3, отмечено мёртвыми — 0. Сообщить об ошибке. См. FAQ.) #IABot (v2.0.8.8
[отпатрулированная версия][отпатрулированная версия]
м (викификация)
(Спасено источников — 3, отмечено мёртвыми — 0. Сообщить об ошибке. См. FAQ.) #IABot (v2.0.8.8)
 
* Единичный квадрат является «кругом» диаметра 1 в смысле [[Равномерная норма|равномерной нормы]] (<math>L^\infty</math>), то есть множество точек, которые расположены на расстоянии 1/2 в смысле равномерной нормы от центра с координатами (1/2, 1/2), является единичным квадратом<ref>{{Книга|автор=Athanasios C. Antoulas |заглавие=Approximation of Large-Scale Dynamical Systems |ссылка=https://books.google.com/books?id=HntlsoAR0NoC&pg=PA29 |ответственный= |издание= |место= |издательство=SIAM |год=2009-06-25 |страницы=29 |страниц=489|isbn=9780898716580}}</ref>.
* [[Георг Кантор|Кантор]] доказал, что существует [[взаимнооднозначное соответствие]] между единичным отрезком и единичным квадратом. Этот факт настолько противоречит интуиции, что Кантор в 1877 году писал [[Дедекинд, Рихард|Дедекинду]]: «Я вижу это, но не верю»<ref>{{Книга|автор=Сергей Деменок |заглавие=Фрактал: между мифом и ремеслом |ссылка=https://books.google.com/books?id=SwxNDAAAQBAJ&pg=PA156 |ответственный= |издание= |место= |издательство=Litres |год=2016-06-08 |страницы=156 |страниц=298 |isbn=9785040137091}}</ref><ref>{{Книга|автор=Michael J. Bradley |заглавие=The Foundations of Mathematics: 1800 to 1900 |ссылка=https://books.google.com/books?id=EMnyMYGNb70C&pg=PA105 |ответственный= |издание= |место= |издательство=Infobase Publishing |год=2006 |страницы=104—105 |страниц=177 |isbn=9780791097212}}</ref>.
* Ещё более удивительный факт был открыт [[Пеано, Джузеппе|Пеано]] в 1890 году: оказывается существует ''[[Непрерывное отображение|непрерывное]]'' отображение отрезка [[Сюръекция|на]] квадрат. Примером такого отображения является [[кривая Пеано]], первый пример заполняющей пространство кривой. Кривая Пеано задаёт ''непрерывное'' отображение единичного отрезка на квадрат, так, что для каждой точки квадрата найдется соответствующая точка отрезка<ref>{{Книга |автор=Сергей Сизый |заглавие=Математические задачи. Студенческие олимпиады математико-механического факультета Уральского госуниверситета |ссылка=https://books.google.com/books?id=H7PdCwAAQBAJ&pg=PA34 |ответственный= |издание= |место= |издательство=Litres |год=2016-04-14 |страницы=34 |страниц=128 |isbn=9785040047086 }} {{Wayback|url=https://books.google.com/books?id=H7PdCwAAQBAJ&pg=PA34 |date=20220407160659 }}</ref>.
* Тем не менее, не существует ''взаимнооднозначного'' непрерывного отображения отрезка в квадрат. Кривая Пеано содержит кратные точки, то есть она проходит через некоторые точки квадрата более одного раза. Таким образом, кривая Пеано не задаёт ''взаимнооднозначного'' соответствия. В действительности легко доказать, что отрезок не [[Гомеоморфизм|гомеоморфен]] квадрату, значит, избежать кратных точек невозможно<ref>{{Книга |автор=Александр Шень, Николай Верещагин |заглавие=Лекции по математической логике и теории алгоритмов. Часть 1. Начала теории множеств |ссылка=https://books.google.com/books?id=gFTpCgAAQBAJ&pg=PA19 |ответственный= |издание= |место= |издательство=Litres |год=2015-11-13 |страницы=19 |страниц=113 |isbn=9785457918795 }} {{Wayback|url=https://books.google.com/books?id=gFTpCgAAQBAJ&pg=PA19 |date=20220407160809 }}</ref>.
 
== Открытая проблема ==
Неизвестно (на 2011 год), существует ли точка на плоскости такая, что расстояние до любой вершины единичного квадрата является [[Рациональное число|рациональным числом]]. Однако известно, что такой точки не существует на границе квадрата<ref>{{citation|last=Guy |first=Richard K. |title=Unsolved Problems in Number Theory, Vol. 1 |publisher=Springer-Verlag |edition=2nd |year=1991 |pages=181—185}}.</ref><ref>{{citation |last=Barbara |first=Roy |title=The rational distance problem |journal=[[Mathematical Gazette]] |volume=95 |date=March 2011 |pages=59—61 |issue=532 |url=http://journals.cambridge.org/action/displayAbstract?fromPage=online&aid=9458155 }} {{Wayback|url=http://journals.cambridge.org/action/displayAbstract?fromPage=online&aid=9458155 |date=20151224052902 }}.</ref>.
 
== См. также ==