Википедия

Аналитическая функция: различия между версиями

Интерактивная навигация по истории
(Показать все непатрулированные изменения)
[отпатрулированная версия][непроверенная версия]
← Предыдущая правкаСледующая правка →
Содержимое удалено Содержимое добавлено
ВизуальныйВики-текст
м викификация
Старое содержимое статьи перенём в статью голоморфная функция, так как однозначная аналитичность и голоморфность -- это одно и то же. Упоминания многозначных аналитических здесь не было вообще, а про вещественные написал отдельную статью. Вследствие этого ставлю дизамбиг
Метка: отменено
Строка 1:
{{Неоднозначность}}
'''Аналитическая функция вещественной переменной''' — функция, которая совпадает со своим [[ряд Тейлора|рядом Тейлора]] в [[окрестность|окрестности]] любой точки области определения.
'''Аналитическая функция''' — один из важнейших классов функций [[Математический анализ|математического анализа]], характеризующийся тем, что в окрестности каждой точки функция может быть разложена в [[степенной ряд]]. Есть следующие разновидности:
 
* [[Вещественно-аналитическая функция]] — вещественная функция, которая в каждой окрестности любой точки может быть представлена степенным рядом.
Однозначная [[Функция (математика)|функция]] <math>f</math> называется '''аналитической в точке''' <math>z_0</math>, если [[сужение функции]] <math>f</math> на некоторую окрестность <math>z_0</math> является аналитической функцией.
* [[Голоморфная функция|Однозначная комплексно-аналитическая функция]] — то же, что и голоморфная функция. Для комплексной функции чтобы она была разложима в степенной ряд достаточно дифференцируемости.
Если функция аналитична в точке <math>z_0</math>, то она аналитическая в каждой точке некоторой окрестности точки <math>z_0</math>.
* [[Многозначная аналитическая функция|Многозначная комплексно-аналитическая функция]] — многозначная комплексная функция, получаемая аналитическим продолжением однозначной комплексно-аналитической функции по всем путям.
 
'''Однозначная аналитическая функция одной комплексной переменной''' — это функция <math>f(z)</math>, для которой в некоторой односвязной области <math>A\subset\mathbb C</math>, называемой областью аналитичности, выполняется одно из четырёх равносильных условий:
# [[Ряд Тейлора]] функции в каждой точке <math>z\in A</math> сходится, и его сумма равна <math>f(z)</math> (''аналитичность в смысле Вейерштрасса'').
# В каждой точке <math>z=x+iy\in A</math> выполняются [[условия Коши — Римана]] <math>\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y} </math> и <math>\frac{\partial u}{\partial y}= -\frac{\partial v}{\partial x} .</math> Здесь <math>u(z)</math> и <math>v(z)</math> — вещественная и мнимая части рассматриваемой функции. (''Аналитичность в смысле Коши — Римана''.)
# [[Интеграл]] <math>\int\limits_\Gamma\,f(z)\,dz=0</math> для любой замкнутой кривой <math>\Gamma\subset A</math> (''аналитичность в смысле Коши'').
# Функция <math>f(z)</math> является [[Голоморфная функция|голоморфной]] в области <math>A</math>. То есть <math>f(z)</math> комплексно дифференцируема в каждой точке <math>z\in A</math>.
 
В курсе [[Комплексный анализ|комплексного анализа]] доказывается эквивалентность этих определений.
 
== Свойства ==
* Арифметические свойства
Если <math>f(z)</math> и <math>g(z)</math> аналитичны в области <math>G\subset\mathbb C</math>
# Функции <math>f(z)\pm g(z)</math>, <math>f(z)\cdot g(z)</math> и <math>f(g(z))</math> аналитичны в <math>G</math>.
# Если <math>g(z)</math> в области <math>G</math> не обращается в ноль, то <math>\frac{f(z)}{g(z)}</math> будет аналитична в <math>G</math>
# Если <math>f'(z)</math> в области <math>G</math> не обращается в ноль, то <math>f^{-1}(z)</math> будет аналитична в <math>G</math>.
* Аналитическая функция бесконечно дифференцируема в своей области аналитичности. Для комплексных функций одной переменной верно и обратное.
 
Некоторые свойства аналитических функций близки к свойствам [[Многочлен|многочленов]], что, впрочем, и неудивительно — определение аналитичности в смысле Вейерштрасса свидетельствует о том, что аналитические функции — в некотором роде предельные варианты многочленов. Допустим, согласно [[Основная теорема алгебры|основной теореме алгебры]] любой многочлен может иметь нулей числом не более его степени. Для аналитических функций справедливо аналогичное утверждение, вытекающее из [[Аналитическое продолжение#Единственность|теоремы единственности]] в альтернативной форме:
* Если множество нулей аналитической в односвязной области функции имеет в этой области [[Предельная точка|предельную точку]], то функция тождественно равна нулю.
* Для функции от нескольких действительных переменных аналитичности по каждой из переменных недостаточно для аналитичности функции. Для функции от нескольких комплексных переменных аналитичности по каждой из переменных достаточно для аналитичности функции ([[Теорема Хартогса]]).
 
== Примеры ==
Все многочлены от z являются аналитическими функциями на всей плоскости <math>\mathbb C</math>.
 
Далее, аналитическими, хотя и ''не на всей'' комплексной плоскости, являются [[рациональные функции]], [[показательная функция]], [[логарифм]], [[тригонометрические функции]], [[обратные тригонометрические функции]] и многие другие классы функций, а также суммы, разности, произведения, частные аналитических функций.
 
Примеры неаналитических функций на <math>\mathbb C</math> включают
# <math>f(z)=|z|</math>,
# <math>f(z)=\overline{z}</math>,
поскольку они не имеют комплексной производной ни в одной точке. При этом сужение <math>f(z)=\overline{z}</math> на вещественную ось будет аналитической функцией ''вещественного'' переменного (так как оно полностью совпадает с сужением функции <math>f(z)= z</math>).
 
== См. также ==
* [[Теорема Хартогса]]
* [[Неравенство Лоясевича]]
 
== Литература ==
* {{книга |автор=[[Шабат, Борис Владимирович|Шабат Б. В.]] |заглавие=Введение в комплексный анализ |ссылка= |издание= |место=М. |издательство=[[Наука (издательство)|Наука]] |год=[[1969]] |том= |страниц=577 |isbn= }}
* {{книга |автор=[[Титчмарш, Эдвард Чарльз|Титчмарш Е.]] |заглавие=Теория функций: Пер. с англ |ссылка= |издание=2-е изд., перераб |место=М. |издательство=[[Наука (издательство)|Наука]] |год=[[1980]] |том= |страниц=464 |isbn= }}
* {{книга |автор=[[Привалов, Иван Иванович|Привалов И. И.]] |заглавие=Введение в теорию функций комплексного переменного: Пособие для высшей школы |ссылка= |издание= |место=М.-Л. |издательство=Государственное издательство |год=[[1927]] |том= |страниц=316 |isbn= }}
* {{книга |автор=[[Евграфов, Марат Андреевич|Евграфов М. А.]] |заглавие=Аналитические функции |ссылка= |издание=2-е изд., перераб. и дополн |место=М. |издательство=[[Наука (издательство)|Наука]] |год=[[1968]] |том= |страниц=472 |isbn= }}
* {{книга |заглавие=Functions of One Complex Variable I |ссылка=https://archive.org/details/isbn_9781461263142 |серия=[[Graduate Texts in Mathematics]] 11 |издательство=[[Springer Science+Business Media|Springer-Verlag]] |год=1978 |isbn=978-0-387-90328-6 |издание=2nd |ref=Conway |язык=en |автор={{Нп3|John B. Conway|Conway, John B.|en|John B. Conway}}}}
* {{книга |заглавие=A Primer of Real Analytic Functions |издание=2nd |год=2002 |издательство={{Нп3|Birkhäuser}} |isbn=0-8176-4264-1 |ref=Steven |язык=en |автор={{Нп3|Steven G. Krantz|Krantz, Steven|en|Steven G. Krantz}}; {{Нп3|Harold R. Parks|Parks, Harold R.|en|Harold R. Parks}}}}
 
== Ссылки ==
* {{springer|title=Analytic function|id=p/a012240}}
* {{MathWorld | urlname= AnalyticFunction | title= Analytic Function }}
* [https://web.archive.org/web/20130615052245/http://ivisoft.org/index.php/software/8-soft/6-zersol Solver for all zeros of a complex analytic function that lie within a rectangular region by Ivan B. Ivanov]{{ref-en}}
 
{{Внешние ссылки}}
 
[[Категория:Типы функций]]
[[Категория:Математический анализ]]
[[Категория:Комплексный анализ]]
Источник — https://ru.wikipedia.org/wiki/Аналитическая_функция