Траектория: различия между версиями

533 байта добавлено ,  1 месяц назад
выделение информации о роли выбора системы отсчёта в отдельный раздел (+ общее переструктурирование в связи с этим)
[непроверенная версия][непроверенная версия]
(более точное изложение сути предмета в преамбуле, с добавлением АИ)
(выделение информации о роли выбора системы отсчёта в отдельный раздел (+ общее переструктурирование в связи с этим))
{{значения}}
[[Файл:Inclinedthrow.gif|thumb|400px275px|Рис. 1. Траектории трёх объектов (угол запуска — 70°, Distance — расстояние, Height — высота), разное [[Лобовое сопротивление (аэродинамика)|лобовое сопротивление]]]]
'''Траекто́рия материа́льной то́чки''' — непрерывная [[кривая|линия]] в [[Пространство в физике|пространстве]], представляющая собой [[множество]] геометрических точек, где находилась, находится или будет находиться [[материальная точка]] в конкретной физической задаче<ref>Понятие траектории достаточно наглядно может быть проиллюстрировано трассой [[бобслей|бобслея]] (если по условиям задачи можно пренебречь её шириной). И именно трассой, а не самим [[Боб (сани)|бобом]].</ref>. Форма траектории свободной материальной точки зависит от действующих на точку [[Сила|сил]], начальных условий движения и от выбора [[Система отсчёта|системы отсчёта]], а несвободной — также от наложенных [[Связь (механика)|связей]]<ref name="fes">Физический энциклопедический словарь, статья ''Траектория'', стр. 764 / гл. ред. А. М. Прохоров — М.: Советская энциклопедия (1984).</ref>.
 
Понятие о траектории имеет смысл и в отрыве от какого-либо реального движения. Но траектория, изображаемая в некоторой системе координат, сама по себе не даёт информации о причинах движения тела по ней, пока не выполнен анализ конфигурации поля действующих на тело сил в той же координатной системе<ref>Так улица, в начале которой висит знак «кирпич» ''останется'' в принципе траекторией движения по ней. А поезда разной массы, движущиеся под различными тяговыми усилиями на сцепных крюках локомотивов и потому с ''разной'' скоростью, будут двигаться по ''одной и той же'' траектории, определяемой формой рельсового пути, налагающего на движение несвободного тела (поезда) конкретные [[связ]]и, интенсивность которых будет в каждом случае ''различной''</ref>.
 
Уточнение о «привязке» траектории к выбору координатной системы принципиально, так как форма траектории зависит от этого выбора<ref>Так, Луна обращается вокруг Земли только в системе отсчёта, связанной с их общим центром гравитации (находится внутри Земного шар). В системе же отсчёта, началом которой является Солнце, Луна обращается вокруг него по той же эллиптической орбите, что и Земля, но с периодическими отклонениями от неё на величину расстояния от Луны до Земли. Никакого взаимного обращения этих небесных тел в этом случае просто нет.
 
Наличие земного притяжения для объяснения формы траектории Луны в системе координат, связанной с Солнцем, вообще не обязательно. Так, исчезни Земля, Луна могла бы продолжать двигаться, как самостоятельное небесное тело, по той же самой старой траектории, а её периодические возмущения можно было бы тогда в качестве гипотезы объяснить изменением силы тяготения, скажем, за счёт вариации массы Солнца по причине пульсации его светимости (что, кстати, и наблюдается в определённых пределах в действительности).
 
И обе упомянутые формы траектории истинны и оба объяснения их формы на основании правильно проведённого анализа действующих сил справедливы. Но они исключают друг друга, как исключается возможность одновременного рассмотрения при выборе той или иной системы координат.</ref>.
 
Возможно наблюдение траектории при неподвижности объекта, но при движении системы отсчёта. Так, звёздное небо может послужить хорошей моделью инерциальной и неподвижной системы отсчёта. Однако при длительной экспозиции эти звёзды представляются движущимися по круговым траекториям.
 
Возможен и случай, когда тело явно движется, но траектория в проекции на плоскость наблюдения является одной неподвижной точкой. Это, например, случай летящей прямо в глаз наблюдателя пули или уходящего от него поезда.
 
== Траектория свободной материальной точки ==
В соответствии с Первым законом Ньютона, иногда называемым [[Закон инерции|законом инерции]], должна существовать такая система, в которой свободное тело сохраняет (как вектор) свою скорость. Такая система отсчёта называется [[инерциальная система отсчёта|инерциальной]]. Траекторией такого движения является [[прямая линия]], а само движение называется равномерным и прямолинейным.
 
== Описание траектории ==
[[Файл:LinearToParabolicMoving.svg|thumb|right|Рис. 2. Прямолинейное равномерно ускоряющееся движение в одной инерциальной системе в общем случае будет параболическим в другой равномерно двигающейся инерциальной системе отсчёта.]]
 
Принято описывать траекторию материальной точки в наперёд заданной системе координат при помощи [[радиус-вектор]]а, направление, длина и начальная точка которого зависят от [[время|времени]]. При этом кривая, описываемая концом радиус-вектора в пространстве может быть представлена в виде сопряжённых [[Дуга|дуг]] различной [[кривизна|кривизны]], находящихся в общем случае в пересекающихся [[Плоскость (геометрия)|плоскостях]]. При этом кривизна каждой дуги определяется её [[Радиус кривизны|радиусом кривизны]], направленном к дуге из мгновенного [[центр поворота|центра поворота]], находящегося в той же плоскости, что и сама дуга. При том [[прямая]] линия рассматривается как предельный случай [[Кривая|кривой]], радиус кривизны которой может считаться равным [[Бесконечность|бесконечности]]. И потому траектория в общем случае может быть представлена как совокупность [[Сопряжение|сопряжённых]] дуг.
 
Существенно, что форма траектории зависит от [[Система отсчёта|системы отсчёта]], избранной для описания движения материальной точки. Так, прямолинейное равномерно ускоряющееся движение в одной инерциальной системе в общем случае будет параболическим в другой равномерно двигающейся инерциальной системе отсчёта.
 
Участок траектории материальной точки в физике обычно называют [[Путь|путём]] и обычно обозначают символом '''S''' - от {{lang-it|[[wikt:spostamento|'''s'''postamento]]}} ([[Перемещение (значения)|перемещение]]).
 
== Связь со скоростью и нормальным ускорением ==
[[Файл:Sterneamwalberla2.jpg|thumb|right|Рис. 3. Суточное движение светил в системе отсчёта, связанной с фотоаппаратом в проекции на плоскость рисунка]]
Скорость материальной точки всегда направлена по касательной к дуге, используемой для описания траектории точки. При этом существует связь между величиной скорости <math>v</math>, [[Ускорение#Ускорение точки при движении по кривой|нормальным ускорением]] <math>a_n</math> и радиусом кривизны траектории <math>R</math> в данной точке:
: <math>a_n = \frac{v^2}{R}</math>
Однако, не всякое движение с ''известной'' скоростью по кривой ''известного'' радиуса и найденное по приведённой выше формуле ''нормальное'' (центростремительное) ''ускорение'' связано с проявлением силы, направленной по нормали к траектории ([[центростремительная сила|центростремительной силы]]). Так, найденное по данным фотографии суточного движения светил ускорение любой из звёзд отнюдь не говорит о существовании вызывающей это ускорение силы, притягивающей её к Полярной звезде, как центру вращения.
 
== СвязьТраектория си уравнениямиуравнения динамики ==
 
Представление траектории как следа, оставляемого движением ''материальной'' точки, связывает чисто [[Кинематика|кинематическое]] понятие о траектории, как геометрической проблеме, с [[Динамика (физика)|динамикой]] движения материальной точки, то есть проблемой определения причин её движения. Фактически, решение [[Законы Ньютона|уравнений Ньютона]] (при наличии '''полного''' набора исходных данных) даёт траекторию материальной точки.
 
=== ТраекторияДвижение свободной материальной точки ===
В соответствии с [[принцип относительности Галилея|принципом относительности Галилея]], существует бесконечное множество равноправных инерциальных систем (ИСО), движение которых одна относительно другой не может быть установлено никаким образом путём наблюдения любых процессов и явлений, происходящих '''только''' в этих системах. Прямая траектория равномерного движения объекта в одной системе будет выглядеть также прямой в любой другой инерциальной системе, хотя величина и направление скорости будут зависеть от выбора системы, то есть от величины и направления их относительной скорости.
В соответствии с Первым законом Ньютона, иногда называемым [[Закон инерции|законом инерции]], должна существовать такая система, в которой свободное тело сохраняет (как вектор) свою скорость. Такая система отсчёта называется [[инерциальная система отсчёта|инерциальной]]. Траекторией такого движения является [[прямая линия]], а само движение называется равномерным и прямолинейным.
 
=== Движение под действием внешних сил в инерциальной системе отсчёта ===
Вместе с тем Принцип Галилея ''не утверждает'', что одно и то же явление, наблюдаемое из двух разных ИСО, будут выглядеть одинаково. Поэтому Рис. 2 предупреждает о двух типичных ошибках, связанных с забвением того, что:
 
; в инерциальной системе отсчёта
1. Истинно, что любой вектор (в том числе вектор силы) может быть разложен по крайней мере на две составляющие. Но это разложение совершенно произвольно и не значит, что такие компоненты существуют в действительности. Для подтверждения их реальности должна привлекаться ''дополнительная информация'', в любом случае не взятая из анализа формы траектории. Например, по рисунку 2 невозможно определить природу силы F, так же как невозможно утверждать, что она сама является или не является суммой сил разной природы. Можно лишь утверждать, что на изображённом участке она постоянна, и что для формирования наблюдаемой в данной СО криволинейности траектории служит вполне определённая в данной СО центростремительная часть этой силы. Зная лишь траекторию материальной точки в какой-либо инерциальной системе отсчёта и её [[скорость]] в каждый момент времени, ''нельзя'' определить природу сил, действовавших на неё.
 
2. Даже в случае наблюдения из ИСО, форма траектории ускоренно движущегося тела будет определяться не только действующими на него силами, но и выбором этой ИСО, никак на эти силы не влияющим. ''Центростремительная сила'', показанная на рисунке 2, получена формально, и её величина непосредственно зависит от выбора ИСО.
 
=== Движение под действием внешних сил в инерциальной системе отсчёта ===
 
Если в заведомо инерциальной системе скорость <math>\vec{v}</math> движения объекта (''для неподвижного в данной системе наблюдателя'') с массой <math>m</math> меняется по направлению, даже оставаясь прежней по величине, то есть тело производит [[поворот]] и движется по дуге с радиусом кривизны <math>R</math>, то значит, это тело испытывает нормальное ускорение <math>a_n</math>. Причиной, вызывающей это ускорение, является центростремительная сила, прямо пропорциональная этому ускорению. В этом состоит суть Второго закона Ньютона:
: <math>\vec F = m \vec a_n</math> (1)
Где <math> \vec F </math> есть векторная сумма сил, действующих на тело, <math> \vec a_n </math> его ускорение, а <math> m </math>  — инерционная масса.<ref name="СЭХ"> ''[[Хайкин, Семён Эммануилович|С.  Э.  Хайкин]]''. Силы инерции и невесомость. М.,1967  г. Издательство «Наука». Главная редакция физико-математической литературы.</ref>
 
В общем случае тело не бывает свободно в своём движении, и на его положение, а в некоторых случаях и на [[скорость]], налагаются ограничения  — [[Механическая связь|связи]]. Если связи накладывают ограничения только на координаты тела, то такие связи называются геометрическими. Если же они распространяются и на скорости, то они называются кинематическими. Если уравнение связи может быть проинтегрировано во времени, то такая связь называется [[Голономная система|голономной]].
 
Действие связей на систему движущихся тел описывается силами, называемыми реакциями связей. В таком случае сила, входящая в левую часть уравнения (1), есть векторная сумма активных (внешних) сил и реакции связей.
Если же связи, действующие в системе [[Идеальная механическая связь|идеальны]], то есть в них не происходит переход энергии движения в другие виды энергии, то при решении уравнений Лагранжа автоматически исключаются все неизвестные реакции связей.
 
Наконец, если действующие силы принадлежат к классу [[Потенциальная сила|потенциальных]], то при соответствующем обобщении понятий становится возможным использования уравнений Лагранжа не только в механике, но и других областях физики.<ref name="ФЭС"> Физический энциклопедический словарь/ Гл. ред. А.  М.  Прохоров. Ред.кол. Д.  М.  Алексеев, А.  М.  Бонч-Бруевич,А.  С.  Боровик-Романов и др. {{М.}}: Сов.энциклопедия, 1983.  — 323 с.,ил, 2 л.цв.ил. страница 282.</ref>
 
Действующие на материальную точку силы в этом понимании однозначно определяют форму траектории её движения (при известных начальных условиях). Обратное утверждение в общем случае не справедливо, поскольку одна и та же траектория может иметь место при различных комбинациях активных сил и реакций связи.
 
=== Движение под действием внешних сил; в неинерциальной системе отсчёта ===
 
Если система отсчёта неинерциальна (то есть движется с неким ускорением относительно инерциальной системы отсчёта), то в ней также возможно использование выражения (1), однако в левой части необходимо учесть так называемые [[сила инерции|силы инерции]] (в том числе, [[Центробежная сила|центробежную силу]] и [[Сила Кориолиса|силу Кориолиса]], связанные с вращением неинерциальной системы отсчёта)<ref name="СЭХ" />.
 
== Значимость выбора системы отсчёта ==
==== Иллюстрация ====
[[Файл:Sterneamwalberla2.jpg|thumb|right|Рис. 3. Суточное движение светил в системе отсчёта, связанной с фотоаппаратом в проекции на плоскость рисунка]]
Уточнение о «привязке» траектории к выбору координатной системы принципиально, так как форма траектории зависит от этого выбора<ref>Так, Луна обращается вокруг Земли только в системе отсчёта, связанной с их общим центром гравитации (находится внутри Земного шар). В системе же отсчёта, началом которой является Солнце, Луна обращается вокруг него по той же эллиптической орбите, что и Земля, но с периодическими отклонениями от неё на величину расстояния от Луны до Земли. Никакого взаимного обращения этих небесных тел в этом случае просто нет.
 
Наличие земного притяжения для объяснения формы траектории Луны в системе координат, связанной с Солнцем, вообще не обязательно. Так, исчезни Земля, Луна могла бы продолжать двигаться, как самостоятельное небесное тело, по той же самой старой траектории, а её периодические возмущения можно было бы тогда в качестве гипотезы объяснить изменением силы тяготения, скажем, за счёт вариации массы Солнца по причине пульсации его светимости (что, кстати, и наблюдается в определённых пределах в действительности).
 
И обе упомянутые формы траектории истинны и оба объяснения их формы на основании правильно проведённого анализа действующих сил справедливы. Но они исключают друг друга, как исключается возможность одновременного рассмотрения при выборе той или иной системы координат.</ref>. Качественные и количественные различия траекторий возникают и между инерциальными системами, и если одна или обе системы неинерциальны.
 
=== Факт наличия/отсутствия траектории ===
Возможно наблюдение траектории при неподвижности объекта, но при движении системы отсчёта. Так, звёздное небо может послужить хорошей моделью инерциальной и неподвижной системы отсчёта. Однако при длительной экспозиции эти звёзды представляются движущимися по круговым траекториям.
 
Возможен и противоположный случай, когда тело явно движется, но траектория в проекции на плоскость наблюдения является одной неподвижной точкой. Это, например, случай летящей прямо в глаз наблюдателя пули или уходящего от него поезда.
 
=== Модификация формы траектории ===
[[Файл:LinearToParabolicMoving.svg|thumb|right|Рис. 2. Прямолинейное равномерно ускоряющееся движение в одной инерциальной системе в общем случае будет параболическим в другой равномерно двигающейся инерциальной системе отсчёта.]]
 
СущественноНередко оказывается, что форма траектории зависит от [[Система отсчёта|системы отсчёта]], избранной для описания движения материальной точки радикальным образом. Так, прямолинейное равномерно ускоряющеесяравноускоренное движение (скажем, свободое падение) в одной инерциальной системе в общем случае будет параболическим в другой равномерно двигающейся инерциальной системе отсчёта (см. рис.).
 
В соответствии с [[принцип относительности Галилея|принципом относительности Галилея]], существует бесконечное множество равноправных инерциальных систем (ИСО), движение которых одна относительно другой не может быть установлено никаким образом путём наблюдения любых процессов и явлений, происходящих '''только''' в этих системах. Прямая траектория равномерного движения объекта в одной системе будет выглядеть также прямой в любой другой инерциальной системе, хотя величина и направление скорости будут зависеть от выбора системы, то есть от величины и направления их относительной скорости.
 
Вместе с тем Принцип Галилея ''не утверждает'', что одно и то же явление, наблюдаемое из двух разных ИСО, будут выглядеть одинаково. Поэтому Рис. 2рисунок предупреждает о двух типичных ошибках, связанных с забвением того, что:
 
1. Истинно, что любой вектор (в том числе вектор силы) может быть разложен по крайней мере на две составляющие. Но это разложение совершенно произвольно и не значит, что такие компоненты существуют в действительности. Для подтверждения их реальности должна привлекаться ''дополнительная информация'', в любом случае не взятая из анализа формы траектории. Например, по рисунку 2 невозможно определить природу силы F, так же как невозможно утверждать, что она сама является или не является суммой сил разной природы. Можно лишь утверждать, что на изображённом участке она постоянна, и что для формирования наблюдаемой в данной СО криволинейности траектории служит вполне определённая в данной СО центростремительная часть этой силы. Зная лишь траекторию материальной точки в какой-либо инерциальной системе отсчёта и её [[скорость]] в каждый момент времени, ''нельзя'' определить природу сил, действовавших на неё.
 
2. Даже в случае наблюдения из ИСО, форма траектории ускоренно движущегося тела будет определяться не только действующими на него силами, но и выбором этой ИСО, никак на эти силы не влияющим. ''Центростремительная сила'', показанная на рисунке 2, получена формально, и её величина непосредственно зависит от выбора ИСО.
 
=== Пример для вращающейся системы ===
[[Файл:Corioliskraftanimation.gif|thumb|right|Траектории одного и того же движения в неподвижной и вращающейся системах отсчёта. Вверху в инерциальной системе видно, что тело двигается по прямой. Внизу в неинерциальной видно, что тело повернуло в сторону от наблюдателя по кривой.]]
 
КакПредставим пример, рассмотримсебе работника театра, передвигающегося в [[колосниковое пространство|колосниковом пространстве]] над сценой по отношению к зданию театра ''равномерно'' и ''прямолинейно'' и несущего над ''вращающейся'' сценой дырявое ведро с краской. Он будет оставлять на ней след от падающей краски в форме ''раскручивающейся спирали'' (если движется ''от'' центра вращения сцены) и ''закручивающейся'' — в противоположном случае. В это время его коллега, отвечающий за чистоту вращающейся сцены и на ней находящийся, будет поэтому вынужден нести под первым недырявое ведро, постоянно находясь под первым. И его движение по отношению к зданию также будет ''равномерным'' и ''прямолинейным'', хотя по отношению к сцене, которая является ''неинерциальной системой'', его движение будет ''искривлённым'' и ''неравномерным'' . Более того, для того, чтобы противодействовать сносу в направлении вращения, он должен мышечным усилием преодолевать действие [[сила Кориолиса|силы Кориолиса]], которое не испытывает его верхний коллега над сценой, хотя траектории обоих в ''инерциальной системе'' здания театра будут представлять ''прямые линии''.
 
Но можно себе представить, что задачей рассматривающихся здесь коллег является именно нанесение ''прямой'' линии на ''вращающейся сцене''. В этом случае нижний должен потребовать от верхнего движения по кривой, являющейся зеркальным отражением следа от ранее пролитой краски,оставаясь при этом над любой точкой прямой, проходящей в избранном радиальном направлении. Следовательно, ''прямолинейное движение'' в ''неинерциальной системе'' отсчёта ''не будет являться таковым'' для наблюдателя ''в инерциальной системе''.
Более того, ''равномерное'' движение тела в одной системе, может быть ''неравномерным'' в другой. Так, две капли краски, упавшие в ''разные моменты'' времени из дырявого ведра, как в собственной системе отсчёта, так и в системе неподвижного по отношению к зданию нижнего коллеги (на уже прекратившей вращение сцене), будут двигаться по прямой (к центру Земли). Различие будет заключаться в том, что для нижнего наблюдателя это движение будет ''ускоренным'', а для верхнего его коллеги, если он, оступившись, ''будет падать'', двигаясь вместе с любой из капель, расстояние между каплями будет увеличиваться пропорционально ''первой степени'' времени, то есть взаимное движение капель и их наблюдателя в его ''ускоренной'' системе координат будет ''равномерным'' со скоростью <math>v = g\Delta t</math>, определяемой задержкой <math>\Delta t</math> между моментами падения капель:; здесь <math>g</math> — [[ускорение свободного падения]].
: <math>v=g\Delta t</math>.
 
Где <math>g</math> — [[ускорение свободного падения]].
 
Поэтому форма траектории и скорость движения по ней тела, рассматриваемая в некоторой системе отсчёта, ''о которой заранее ничего не известно'', не даёт однозначного представления о силах, действующих на тело. Решить вопрос о том, является ли эта система в достаточной степени инерциальной, можно лишь на основе анализа причин возникновения действующих сил.
 
*Таким Кривизнаобразом, в неинерциальной системе, во-первых, кривизна траектории и/или непостоянство скорости являются недостаточным аргументом в пользу утверждения о том, что на движущееся по ней тело действуют внешние силы, которые в конечном случае могут быть объяснены гравитационными или электромагнитными полями, а во-вторых, прямолинейность траектории является недостаточным аргументом в пользу утверждения о том, что на движущееся по ней тело не действуют никакие силы.
Таким образом, в неинерциальной системе:
* Кривизна траектории и/или непостоянство скорости являются недостаточным аргументом в пользу утверждения о том, что на движущееся по ней тело действуют внешние силы, которые в конечном случае могут быть объяснены гравитационными или электромагнитными полями.
* Прямолинейность траектории является недостаточным аргументом в пользу утверждения о том, что на движущееся по ней тело не действуют никакие силы.
 
== См. также ==