Компактификация: различия между версиями

В [[общая топология|общей топологии]] '''компактификация'''  — операция, которая преобразует произвольные [[топологическое пространство|топологические пространства]] в компактные.

Формально компактификация пространства <math>X</math> определяется как пара <math>(Y,\;f)</math>, где <math>Y</math> компактно, <math>f:X \to Y</math> [[гомеоморфизм]] на свой образ <math>f(X)</math> и <math>f(X)</math> плотно в <math>Y</math>.

На компактификациях некоторого фиксированного пространства <math>X</math> можно ввести частичный порядок. Положим <math>f_1 \leqleqslant f_2</math> для двух компактификаций <math>f_1: X \to Y_1</math>, <math>f_2: X \to Y_2</math>, если существует непрерывное отображение <math>g: Y_2 \to Y_1</math> такое, что <math>g f_2 = f_1</math>. Максимальный (с точностью до [[гомеоморфизм|гомеоморфизма]]) элемент в этом порядке называется '''компактификацией Стоуна- — Чеха''' и обозначается <math>\beta X</math>. Для того, чтобы у пространства <math>X</math> существовала компактификация Стоуна- — Чеха, удовлетворяющая [[аксиомы отделимости|аксиоме отделимости]] Хаусдорфа, достаточно, чтобы <math>X</math> удовлетворяло аксиоме отделимости <math>T_{3\frac{1}{2}}</math>.

'''Одноточечная компактификация''' (или '''компактификация Александрова''') устроена следующим образом. Пусть <math>Y=X \cup \{\infty\}</math> и открытыми множествами в <math>Y</math> считаются все открытые множества <math>X</math>, а также множества вида <math>O \cup \{\infty\}</math>, где <math>O \subseteq X</math> имеет компактное (в <math>X</math>) дополнение. <math>f</math> берётся как естественное вложение <math>X</math> в <math>Y</math>. <math>(Y,\; f)</math> тогда компактификация, причём <math>Y</math> хаусдорфово тогда и только тогда, когда <math>X</math> [[Хаусдорфово пространство|хаусдорфово]] и [[локально компактное пространство|локально компактно]].

<math>\R \cup \{\infty\}</math> с топологией, сконструированной как указано выше, является компактным пространством. Не трудно доказать, что если два пространства гомеоморфны, то и соотвествующие одноточечные компактификации гомеоморфны. В частности, т.к.так как окружность на плоскости без одной точки гомеоморфна с <math>\R</math> (пример гомеоморфизма - — [[стереографическая проекция]]), целая окружность гомеоморфна с <math>\R \cup \{\infty\}</math>. Аналогично, <math>\mathbb R^n \cup \{\infty\}</math> гомеоморфно c <math>n</math>-мерной [[Гиперсфера|гиперсферой]].