Циркуляция векторного поля: различия между версиями

<math>C=\oint\limits_{\Gamma }{\mathbf{F}d\mathbf{l}}=\oint\limits_{\Gamma }{F_{x}dx+F_{y}dy+F_{z}dz}</math>

 

 

 

== Свойства циркуляции ==

 

'''[[Аддитивность]]'''

\frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} & \frac{\partial }{\partial z} \\

F_{x} & F_{y} & F_{z} \\

 

В случае, если контур плоский, например лежит в плоскости OXY, справедлива [[Формула_Грина|формула Грина]]

<math>\oint\limits_{\Gamma }{F_{x}dx+F_{y}dy}=\iint\limits_{\operatorname{int}\Gamma }{\left( \frac{\partial F_{y}}{\partial x}-\frac{\partial F_{x}}{\partial y} \right)dxdy}</math>

 

 

== Физическая интерпретация ==

 

Если '''F''' — некоторое [[Силовое_поле_(физика)|силовое поле]], тогда циркуляция этого поля по некоторому произвольному контуру '''Γ''' есть [[Работа_(физика)|работа]] этого поля при перемещении точки вдоль контура '''Г'''. Отсюда непосредственно следует критерий [[Потенциальное_поле|потенциальности поля]]: поле является потенциальным когда циркуляция его по произвольному замкнутому контуру есть нуль. Или же, как следует из формулы Стокса, в любой точке области D ротор этого поля есть нуль.

<math>C = ul,</math>

 

 

Так как при затвердевании стенок канала нормальная к контуру компонента скорости будет погашена (вообразим, что это происходит перед тем, как тангенциальная скорость в канале всюду становится одинаковой вследствие несжимаемости жидкости), жидкость по каналу будет сразу после затвердевания двигаться с тангенциальной составляющей исходной скорости <math>v_{\tau }</math>. Тогда циркуляцию можно представить в виде

<math>C=\oint\limits_{\Gamma }{v_{\tau }dl}=\oint\limits_{\Gamma }{\mathbf{v}d\mathbf{l}}</math>

 

 

Позже понятие «циркуляция» было распространено на любые векторные поля, даже такие, в которых «циркулировать» в буквальном смысле нечему.