|
== Относительные гомотопические группы и точная гомотопическая последовательность ==
Относительные гомотопические группы определяются для пространства <math>X</math>, его подпространства <math>A\sub X</math> и выделенной точки <math>x_0\in X</math>. Пусть <math>I^n\sub\R^n</math> — единичный куб (<math>I^n=\{(t_1, t_2,\ldots t_n): 0\leqslant t_n\leqslant 1\}</math>), <math>\partial I^n</math> — граница этого куба, a <math>I^{n-1}\sub\partial I^n</math> - грань куба, определяемая уравнением <math>x_n=0</math>. Множество [[Гомотопия|гомотопических]] классов <math>[f]</math> непрерывных отображений <math>f\colon I^n\to X</math>, для которых <math>f\colon I^{n-1}\to A</math> и на остальных гранях <math>f\colon\partial I^n \setminus \operatorname{Int}(I^{n-1})\to x_0</math> обозначается <math>\pi_n(X,A,x_0)</math> (причём <math>I^{n-1}</math> переходит в <math>A</math>, а <math>\partial I^n \setminus Int(I^{n-1})</math> в точку <math>x_0</math> при всех отображениях и гомотопиях).
Относительные гомотопические группы определяются для пространства ''X'', его подпространства ''A<span style='font-family:Symbol'>Ì</span>X'' и выделенной точки ''x<sub>0</sub><span style='font-family:
Symbol'>Î</span>X''. Пусть ''I<sup>n</sup><span style='font-family:Symbol'>Ì</span>R<sup>n</sup>'' — единичный куб (''I<sup>n</sup>={(t<sub>1</sub>, t<sub>2</sub>...t<sub>n</sub>): 0≤t<sub>n</sub>≤1}''), ''∂I<sup>n</sup>'' — граница этого куба, a ''I<sup>n-1</sup><span style='font-family:Symbol'>Ì</span>∂I<sup>n</sup>'' грань куба, определяемая уравнением ''x<sub>n</sub>''=0. Множество [[Гомотопия|гомотопических]] классов ''[f]'' непрерывных отображений ''f:I<sup>n</sup>→X'' для которых ''f:I<sup>n-1</sup>→A'' и на остальных гранях ''f:∂I<sup>n</sup>\Int(I<sup>n-1</sup>)→x<sub>0</sub>'' обозначается ''π<sub>n</sub>(X,A,x<sub>0</sub>)'' (причём ''I<sup>n-1</sup>'' переходит в ''A'', а ''∂I<sup>n</sup>\Int(I<sup>n-1</sup>)'' в точку ''x<sub>0</sub>'' при всех отображениях и гомотопиях). Точно так же, как и раньше можно доказать что при ''n≥''2 это множество образует группу — относительную гомотопическую группу порядка ''n''. Если ''n≥''3 то предыдущий рисунок доказывает, что ''π<sub>n</sub>(X,A,x<sub>0</sub>)'' — абелева. (При ''n''=2 доказательство не проходит, так как точки ''I<sup>1</sup>={x:x<sub>2</sub>=0}'' могут переходить в точки ''A'', отличные от ''x<sub>0</sub>'').
Точно так же, как и раньше можно доказать что при <math>n\geqslant 2</math> это множество образует группу — относительную гомотопическую группу порядка <math>n</math>. Если <math>n\geqslant 3</math> то предыдущий рисунок доказывает, что <math>\pi_n(X,A,x_0)</math> — абелева. (При n=2 доказательство не проходит, так как точки <math>I^1=\{x:x_2=0\}</math> могут переходить в точки <math>A</math>, отличные от <math>x_0</math>).
Вложение ''i:(A,x<sub>0</sub>)→(X,x<sub>0</sub>)'' индуцирует [[гомоморфизм]] ''i<sub>*</sub>:π<sub>n</sub>(A,x<sub>0</sub>)→π<sub>n</sub>(X,x<sub>0</sub>)'', а вложение ''j:(X,x<sub>0</sub>)→(X,A,x<sub>0</sub>)'' (''(X,x<sub>0</sub>)'' можно рассматривать как ''(X,x<sub>0</sub>,x<sub>0</sub>))'', индуцирует гомоморфизм ''j<sub>*</sub>:π<sub>n</sub>(X,x<sub>0</sub>)→π<sub>n</sub>(X,A,x<sub>0</sub>)''. Любой элемент ''[f]<span style='font-family:
Symbol'Вложение <math>Îi\colon(A,x_0)\to(X,x_0)</spanmath>π индуцирует [[гомоморфизм]] <submath>ni_*\colon\pi_n(A,x_0\to\pi_n(X,x_0)</submath>, а вложение <math>j\colon(X,x_0)\to(X,A,xx_0)<sub/math>0 (здесь <math>(X,x_0)</submath> следует понимать как <math>(X,x_0,x_0)''</math>), индуцирует гомоморфизм <math>j_*\colon\pi_n(X,x_0)\to\pi_n(X,A,x_0)</math>. Любой элемент <math>[f]\in\pi_n(X,A,x_0)</math> определяется отображением ''<math>f''</math>, которое, в частности, переводит ''I<supmath>I^{n-1}</supmath>'' в ''<math>A''</math>, причём на ''∂I<supmath>\partial I^{n-1}</supmath> f'' тождественно равно ''x<submath>0x_0</submath>'', определяя элемент из ''π<submath>\pi_{n-1</sub>}(A,x<sub>0x_0)</submath>)''. Таким образом мы получаем отображение ''∂π<sub>n</submath>\partial \pi_n(X,A,x<sub>0</sub>x_0)→π<sub>\to\pi_{n-1</sub>}(A,x<sub>0x_0)</submath>)'', которое является гомоморфизмом. Мы имеем следующую последовательность групп и гомоморфизмов:
<br><math>...{\longrightarrow}\pi_n(A,x_0)\stackrel{i_{*n}}{\longrightarrow}\pi_n(X,x_0)\stackrel{j_{*n}}{\longrightarrow}\pi_n(X,A,x_0)\stackrel{\partial_n}{\longrightarrow}\pi_{n-1}(A,x_0){\longrightarrow}~... </math>
Эта последовательность является [[Точная последовательность|точной]], то- есть образ любого гомоморфизма совпадает с ядром следующего гомоморфизма. Отсюда в случае, когда ''π<sub>n</submath>\pi_n(X,x<sub>x_0)=0</submath>)=0'' для всех ''<math>n≥''\geqslant 1</math>, граничный гомоморфизм ''∂:π<submath>\partial\colon\pi_{n+1</sub>}(X,A,x<sub>0</sub>x_0)→π<sub>n</sub>\to\pi_n(A,x<sub>0x_0)</submath>)'' будет изоморфизмом.
== История ==
|
