Смешанное произведение: различия между версиями

оформление, дополнение
(оформление, дополнение)
'''Сме́шанное произведе́ние''' <math> ( \barmathbf{a}, \barmathbf{b}, \barmathbf{c} ) </math> [[вектор]]ов <math>\barmathbf{a}, \barmathbf{b}, \barmathbf{c}</math>  — [[скалярное произведение]] [[вектор]]а <math>\barmathbf{a}</math> на [[векторное произведение]] [[вектор]]ов <math>\barmathbf{b}</math> и <math>\barmathbf{c}</math>: <br />
: <math>(\barmathbf{a}, \barmathbf{b}, \bar{mathbf c}) = \langle\bar{mathbf a}, [\bar{mathbf b}, \bar{mathbf c}]\rangle = \barmathbf{a}\cdot\left(\barmathbf{b}\times\bar{mathbf c}\right)</math>.
 
Иногда его называют ''тройным скалярным произведением'' векторов, по всей видимости из-за того, что результатом является [[скаляр]] (точнее - — [[псевдоскаляр]]).
 
''Геометрический смысл:'' Смешанное произведение численно равно объёму [[параллелепипед|параллелепипеда]]а, образованного [[вектор|векторами]]ами <math>\mathbf a, \mathbf b, \mathbf c</math>.
 
== Свойства ==
* Смешанное произведение [[Косая симметрия|кососимметрично]] по отношению ко всем своим аргументам:<br />&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;<math>(\bar a,\bar b,\bar c)=(\bar b,\bar c,\bar a)=(\bar c,\bar a,\bar b)=-(\bar b,\bar a,\bar c)=-(\bar c,\bar b,\bar a)=-(\bar a,\bar c,\bar b);</math><br /> т.&nbsp;е. перестановка любых двух сомножителей меняет знак произведения.
: <math>(\mathbf a,\mathbf b,\mathbf c)=(\mathbf b,\mathbf c,\mathbf a)=(\mathbf c,\mathbf a,\mathbf b)=-(\mathbf b,\mathbf a,\mathbf c)=-(\mathbf c,\mathbf b,\mathbf a)=-(\mathbf a,\mathbf c,\mathbf b);</math>
* Смешанное произведение <math> ( \bar{a}, \bar{b}, \bar{c} ) </math> в правой декартовой системе координат (в ортонормированном базисе) равно [[определитель|определителю]] [[Матрица (математика)|матрицы]], составленной из векторов <math> \bar{a}, \bar{b}</math> и <math>\bar{c} </math>:<br />&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;<math> ( \bar{a}, \bar{b}, \bar{c} ) = \begin{vmatrix} a_x & a_y & a_z \\ b_x & b_y & b_z \\ c_x & c_y & c_z \end{vmatrix}. </math> <br />В частности,
: т.&nbsp;е. перестановка любых двух сомножителей меняет знак произведения. Отсюда следует, что
: <math>\lang \mathbf a, [\mathbf b, \mathbf c]\rang = \lang [\mathbf a, \mathbf b], \mathbf c\rang</math>
* Смешанное произведение <math> ( \barmathbf{a}, \barmathbf{b}, \barmathbf{c} ) </math> в правой декартовой системе координат (в ортонормированном базисе) равно [[определитель|определителю]] [[Матрица (математика)|матрицы]], составленной из векторов <math> \barmathbf{a}, \barmathbf{b}</math> и <math>\barmathbf{c} </math>:<br />&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;<math> ( \bar{a}, \bar{b}, \bar{c} ) = \begin{vmatrix} a_x & a_y & a_z \\ b_x & b_y & b_z \\ c_x & c_y & c_z \end{vmatrix}. </math> <br />В частности,
: <math> ( \mathbf{a}, \mathbf{b}, \mathbf{c} ) = \begin{vmatrix} a_x & a_y & a_z \\ b_x & b_y & b_z \\ c_x & c_y & c_z \end{vmatrix}. </math>
: В частности,
** Если три вектора [[линейная независимость|линейно зависимы]] (т.&nbsp;е. компланарны, лежат в одной плоскости), то их смешанное произведение равно нулю.
* Геометрический смысл - — Смешанное произведение <math> ( \barmathbf{a}, \barmathbf{b}, \barmathbf{c} ) </math> по абсолютному значению равно объёму [[параллелепипед]]а, образованного векторами <math> \barmathbf{a}, \barmathbf{b}</math> и <math>\barmathbf{c};</math> знак зависит от того, является ли эта тройка векторов правой или левой.
 
* Смешанное произведение удобно записывается с помощью [[символ Леви-Чивита|символа (тензора) Леви-Чивиты]]:
: <math>(\barmathbf a,\barmathbf b,\barmathbf c) = \sum_{i,j,k} \varepsilon_{ijk}a^i b^j c^k </math>
(в последней формуле в ортонормированном базисе все индексы можно писать нижними; в этом случае эта формула совершенно прямо повторяет формулу с определителем, правда, при этом автоматически получается множитель (-1) для левых базисов).
 
== Обобщение ==
В <math>\ n</math>-мерном пространстве естественным обобщением смешанного произведения, имеющего смысл ориентированного объема, является определитель матрицы <math> n \times n </math>, составленной из строк или столбцов, заполненных координатами векторов. Смысл этой величины  — ориентированный <math>\ n</math>-мерный объем (подразумевается стандартный базис и тривиальная метрика).
 
В произвольном базисе произвольной размерности смешанное произведение удобно записывается с помощью [[символ Леви-Чивита|символа (тензора) Леви-Чивиты]] соответствующей размерности:
: <math>(\barmathbf a,\barmathbf b,\barmathbf c, ...\ldots) = \sum_{i,j,k,...\ldots} \varepsilon_{ijk...\ldots}a^i b^j c^k ...\ldots</math>
 
 
 
{{math-stub}}
[[Категория: Векторный анализ]]
[[Категория:Векторы]]