Смешанное произведение: различия между версиями

'''Сме́шанное произведе́ние''' <math> ( \barmathbf{a}, \barmathbf{b}, \barmathbf{c} ) </math> [[вектор]]ов <math>\barmathbf{a}, \barmathbf{b}, \barmathbf{c}</math>  — [[скалярное произведение]] [[вектор]]а <math>\barmathbf{a}</math> на [[векторное произведение]] [[вектор]]ов <math>\barmathbf{b}</math> и <math>\barmathbf{c}</math>: <br />

: <math>(\barmathbf{a}, \barmathbf{b}, \bar{mathbf c}) = \langle\bar{mathbf a}, [\bar{mathbf b}, \bar{mathbf c}]\rangle = \barmathbf{a}\cdot\left(\barmathbf{b}\times\bar{mathbf c}\right)</math>.

Иногда его называют ''тройным скалярным произведением'' векторов, по всей видимости из-за того, что результатом является [[скаляр]] (точнее - — [[псевдоскаляр]]).

''Геометрический смысл:'' Смешанное произведение численно равно объёму [[параллелепипед|параллелепипеда]]а, образованного [[вектор|векторами]]ами <math>\mathbf a, \mathbf b, \mathbf c</math>.

* Смешанное произведение [[Косая симметрия|кососимметрично]] по отношению ко всем своим аргументам:<br
: />&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;<math>(\barmathbf a,\barmathbf b,\barmathbf c)=(\barmathbf b,\barmathbf c,\barmathbf a)=(\barmathbf c,\barmathbf a,\barmathbf b)=-(\barmathbf b,\barmathbf a,\barmathbf c)=-(\barmathbf c,\barmathbf b,\barmathbf a)=-(\barmathbf a,\barmathbf c,\barmathbf b);</math><br />
: т.&nbsp;е. перестановка любых двух сомножителей меняет знак произведения. Отсюда следует, что

* Смешанное произведение <math> ( \barmathbf{a}, \barmathbf{b}, \barmathbf{c} ) </math> в правой декартовой системе координат (в ортонормированном базисе) равно [[определитель|определителю]] [[Матрица (математика)|матрицы]], составленной из векторов <math> \barmathbf{a}, \barmathbf{b}</math> и <math>\barmathbf{c} </math>:<br />&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;<math> ( \bar{a}, \bar{b}, \bar{c} ) = \begin{vmatrix} a_x & a_y & a_z \\ b_x & b_y & b_z \\ c_x & c_y & c_z \end{vmatrix}. </math> <br />В частности,

* Геометрический смысл - — Смешанное произведение <math> ( \barmathbf{a}, \barmathbf{b}, \barmathbf{c} ) </math> по абсолютному значению равно объёму [[параллелепипед]]а, образованного векторами <math> \barmathbf{a}, \barmathbf{b}</math> и <math>\barmathbf{c};</math> знак зависит от того, является ли эта тройка векторов правой или левой.

: <math>(\barmathbf a,\barmathbf b,\barmathbf c) = \sum_{i,j,k} \varepsilon_{ijk}a^i b^j c^k </math>

В <math>\ n</math>-мерном пространстве естественным обобщением смешанного произведения, имеющего смысл ориентированного объема, является определитель матрицы <math> n \times n </math>, составленной из строк или столбцов, заполненных координатами векторов. Смысл этой величины  — ориентированный <math>\ n</math>-мерный объем (подразумевается стандартный базис и тривиальная метрика).

: <math>(\barmathbf a,\barmathbf b,\barmathbf c, ...\ldots) = \sum_{i,j,k,...\ldots} \varepsilon_{ijk...\ldots}a^i b^j c^k ...\ldots</math>

[[Категория: Векторный анализ]]