Гомотопические группы: различия между версиями
| [непроверенная версия] | [непроверенная версия] |
Содержимое удалено Содержимое добавлено
D'ohBot (обсуждение | вклад) м робот добавил: cs:Homotopická grupa; косметические изменения |
|||
Строка 23:
В то время как [[фундаментальная группа]] <math>\pi_1(X,x_0)</math> в общем случае [[абелева группа|неабелева]], для всех n>1 <math>\pi_n(X,x_0)</math> абелевы, то есть <math>[f][g]=[g][f]</math>. Наглядное доказательство этого факта можно видеть на следующем рисунке (светло-синие области отображаются в точку <math>x_0</math>):
[[
== Относительные гомотопические группы и точная гомотопическая последовательность ==
Относительные гомотопические группы определяются для пространства <math>X</math>, его подпространства <math>A\sub X</math> и выделенной точки <math>x_0\in X</math>. Пусть <math>I^n\sub\R^n</math> — единичный куб (<math>I^n=\{(t_1, t_2,\ldots t_n): 0\leqslant t_n\leqslant 1\}</math>), <math>\partial I^n</math> — граница этого куба, a <math>I^{n-1}\sub\partial I^n</math> - грань куба, определяемая уравнением <math>x_n=0</math>. Множество [[Гомотопия|гомотопических]] классов <math>[f]</math> непрерывных отображений <math>f\colon I^n\to X</math>, для которых <math>f\colon I^{n-1}\to A</math> и на остальных гранях <math>f\colon\partial I^n \setminus \operatorname{Int}(I^{n-1})\to x_0</math> обозначается <math>\pi_n(X,A,x_0)</math> (причём <math>I^{n-1}</math> переходит в <math>A</math>, а
Точно так же, как и раньше можно доказать что при <math>n\geqslant 2</math> это множество образует группу — относительную гомотопическую группу порядка <math>n</math>. Если <math>n\geqslant 3</math> то предыдущий рисунок доказывает, что <math>\pi_n(X,A,x_0)</math> — абелева. (При n=2 доказательство не проходит, так как точки <math>I^1=\{x:x_2=0\}</math> могут переходить в точки <math>A</math>, отличные от <math>x_0</math>).
Вложение <math>i\colon(A,x_0)\to(X,x_0)</math> индуцирует [[гомоморфизм]] <math>i_*\colon\pi_n(A,x_0\to\pi_n(X,x_0)</math>, а вложение <math>j\colon(X,x_0)\to(X,A,x_0)</math> (здесь <math>(X,x_0)</math> следует понимать как <math>(X,x_0,x_0)</math>), индуцирует гомоморфизм <math>j_*\colon\pi_n(X,x_0)\to\pi_n(X,A,x_0)</math>. Любой элемент <math>[f]\in\pi_n(X,A,x_0)</math> определяется отображением <math>f</math>, которое, в частности, переводит <math>I^{n-1}</math> в <math>A</math>, причём на <math>\partial I^{n-1}</math> f тождественно равно <math>x_0</math>, определяя элемент из <math>\pi_{n-1}(A,x_0)</math>. Таким образом мы получаем
<br /><math>...{\longrightarrow}\pi_n(A,x_0)\stackrel{i_{*n}}{\longrightarrow}\pi_n(X,x_0)\stackrel{j_{*n}}{\longrightarrow}\pi_n(X,A,x_0)\stackrel{\partial_n}{\longrightarrow}\pi_{n-1}(A,x_0){\longrightarrow}~... </math>
Эта последовательность является [[Точная последовательность|точной]], то есть образ любого гомоморфизма совпадает с ядром следующего гомоморфизма. Отсюда в случае, когда <math>\pi_n(X,x_0)=0</math> для всех <math>n\geqslant 1</math>, граничный гомоморфизм <math>\partial\colon\pi_{n+1}(X,A,x_0)\to\pi_n(A,x_0)</math> будет изоморфизмом.
Строка 54:
[[Категория:Алгебраическая топология]]
[[cs:Homotopická grupa]]
[[de:Homotopiegruppe]]
[[en:Homotopy group]]
| |||