Циркуляция векторного поля: различия между версиями

[непроверенная версия][непроверенная версия]
Содержимое удалено Содержимое добавлено
Нет описания правки
отмена спорного переименования категории с помощью AWB
Строка 1:
'''Циркуля́цией [[Векторное поле|ве́кторного по́ля]]''' называется [[Криволинейный интеграл|криволинейный интеграл]] второго рода, взятый по произвольному замкнутому контуру '''Γ'''. По определению
 
<math>C=\oint\limits_{\Gamma }{\mathbf{F}d\mathbf{l}}=\oint\limits_{\Gamma }{F_{x}dx+F_{y}dy+F_{z}dz}</math>
 
где <math>\mathbf{F}=\{F_{x},F_{y},F_{z}\}</math> — [[Векторное поле|векторное поле]] (или вектор-функция), определенное в некоторой [[Область_Область (математика)|области]] D, содержащей в себе контур '''Γ''',
<math>d\mathbf{l}=\{dx,dy,dz\}</math> — бесконечно малое приращение [[Радиусрадиус-вектор|радиус-вектора]]а <math>\mathbf{l}</math> вдоль контура. Окружность на символе интеграла подчёркивает тот факт, что интегрирование производится по замкнутому контуру.
 
* Определение приведено для трёхмерного случая, но оно, как и основные свойства, перечисленные ниже, прямо обобщается на произвольную размерность пространства.
Строка 16:
 
<math>C=\sum\limits_{i}{C_{i}}</math>
 
 
'''[[Формула Стокса]]'''
 
Циркуляция вектора '''F''' по произвольному контуру '''Г''' равна [[Поток_векторного_поляПоток векторного поля|потоку вектора]] <math>\operatorname{rot}\mathbf{F}</math> через произвольную поверхность '''S''', ограниченную данным контуром.
 
<math>\oint\limits_{\Gamma }{\mathbf{F}d\mathbf{l}=\iint\limits_{S}{\operatorname{rot}}}\mathbf{F}\cdot \mathbf{n}dS</math>
Строка 30 ⟶ 29 :
\frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} & \frac{\partial }{\partial z} \\
F_{x} & F_{y} & F_{z} \\
\end{matrix} \right|</math> — [[Ротор_Ротор (математика)|Ротор]] (вихрь) вектора '''F'''.
 
В случае, если контур плоский, например лежит в плоскости OXY, справедлива [[Формула_Грина|формула Грина]]
 
<math>\oint\limits_{\Gamma }{F_{x}dx+F_{y}dy}=\iint\limits_{\operatorname{int}\Gamma }{\left( \frac{\partial F_{y}}{\partial x}-\frac{\partial F_{x}}{\partial y} \right)dxdy}</math>
Строка 42 ⟶ 41 :
[[Файл:Циркуляция.jpg|200px|thumb|right|Физическая интерпретация циркуляции: Работа поля по замкнутому контуру]]
 
Если '''F''' — некоторое [[Силовое_поле_Силовое поле (физика)|силовое поле]], тогда циркуляция этого поля по некоторому произвольному контуру '''Γ''' есть [[Работа_Работа (физика)|работа]] этого поля при перемещении точки вдоль контура '''Г'''. Отсюда непосредственно следует критерий [[Потенциальное_полеПотенциальное поле|потенциальности поля]]: поле является потенциальным когда циркуляция его по произвольному замкнутому контуру есть нуль. Или же, как следует из формулы Стокса, в любой точке области D ротор этого поля есть нуль.
 
<math>\forall \Gamma \subset D:\oint\limits_{\Gamma }{\mathbf{F}(\mathbf{r})d\mathbf{l}}=0\Leftrightarrow \forall \mathbf{r}\in D:\operatorname{rot}\mathbf{F}(\mathbf{r})=\mathbf{0}</math>
Строка 66 ⟶ 65 :
* Савельев И. В. ''Курс общей физики''. Т2. М.: Астрель • АСТ, 2004.
 
[[Категория:Векторный анализ]]
 
[[Категория:Векторное исчисление]]
[[Категория:Базовые понятия физики]]