Строго сингулярный оператор: различия между версиями

Ограниченый линейный оператор между [[нормированное пространство|нормированными пространствами]] называется строго сингулярным если его сужение на любое бесконечномерное подпространство не является [[изоморфизм|изоморфизмом]]ом. То есть, оператор <math>T</math> в <math>L(X,Y)</math> — строго сингулярен если для любого бесконечномерного подпространства <math>M</math> в пространстве <math>X</math> и любого положительного вещественного числа <math>c</math> найдется вектор <math>x</math> в <math>M</math> такой что <math>\lVert Tx\rVert<c\lVert x\rVert</math>.

Любой [[компактный оператор|компактный оператор]] является строго сингулярным. Для многих пространств верно и обратное. В частности, если <math>X=\ell_p</math> при <math>1\le p<+\infty</math> или <math>X=c_0</math>, то любой строго сингулярный оператор из <math>X</math> в <math>X</math> является компактным. Любой оператор из <math>\ell_p</math> в <math>\ell_q</math> является строго сингулярным если <math>1\le p<q<+\infty</math> и компактным если <math>1\le q<p<+\infty</math>. Произведение двух строго сингулярных операторов на <math>L_p[0,1]</math> при <math>1\le p<+\infty</math> или на C(K) является компактным оператором.

Подобно компактным операторам, строго сингулярные операторы образуют [[операторный идеал|операторный идеал]] в смысле А.Пича (A.Pietsch). То есть, при умножении строго сингулярного оператора на ограниченный оператор слева или справа вновь получается строго сингулярный оператор. При этом операторы могут действовать между разными пространствами.

[[Категория: Функциональный анализ]]