Векторное расслоение: различия между версиями

каждой точке <math>x</math> пространства <math>X</math> сопоставляется векторное пространство <math>V_x</math> так, что их объединение образует пространство такого же типа, как и <math>X</math> (топологическое пространство, многообразие или алгебраическую структуру и  т.  п.), называемое '''пространством векторного расслоения над <math>X</math>'''.

* Простейший пример  — [[тривиальное расслоение]], которое имеет вид [[прямое произведение|прямого произведения]] <math>X\times V</math>, где <math>X</math>  — топологическое пространство, база расслоения, а <math>V</math> векторное пространство.

* Более сложный пример  — это [[касательное расслоение]] [[гладкое многообразие|гладкого многообразия]]: каждой точке на многообразии сопоставляется [[касательное пространство]] к многообразию в этой точке.

Векторное расслоение  — это [[локально тривиальное расслоение]], у которого [[Расслоение|слой]] <math>V</math> является векторным пространством, снабжённым структурой [[группа Ли|группы Ли]] обратимых линейных преобразований <math>V</math>.

# для любого <math>x\in X</math>  — структуры вещественного [[векторное пространство|векторного пространства]] на слое <math>\pi^{-1}(\{ x \})</math>

* отображение <math>v \to \varphi(x,v)</math>  — [[изоморфизм]] векторных пространств <math>R^k</math> и <math>\pi^{-1}(\{ x \})</math>.

Каждый ''слой'' <math>\pi^{-1}(\{ x \})</math>  — конечномерное вещественное векторное пространство, поэтому его [[размерность Гамеля|размерность]] равна <math>k_x</math>. Локальная тривиализация показывает, что функция <math>x \to k_x</math>  — локально постоянна, поэтому она постоянна на каждой [[компонента связности|компоненте связности]] <math>X</math>. Если <math>k_x</math> равняется постоянной <math>k</math> на всём <math>X</math>, то <math>k</math> называется '''рангом''' векторного расслоения, а <math>E</math> называют '''векторным расслоением ранга <math>k</math>'''. Векторные расслоения ранга <math>1</math> называются [[линейное расслоение|линейными расслоениями]].

* для любого <math>x\in X_1</math>, отображение <math>\pi_1^{-1}(\{x\})\to \pi_1^{-1}(\{g(x)\}),</math> индуцированное <math>f,</math>  — [[линейное отображение]] векторных пространств.

Заметим, что <math>g</math> определяется <math>f</math> (так как <math>\pi_1</math>  — сюрьекция), в таком случае говорят, что <math>f</math> ''покрывает'' <math>g</math>.

Класс всех векторных расслоений вместе с морфизмами расслоений образует [[категория (математика)|категорию]]. Ограничиваясь векторными расслоениями, являющимися гладкими многообразиями, и гладкими морфизмами расслоений, мы получим категорию ''гладких векторных расслоений''. Морфизмы векторных расслоений  — частный случай [[отображение расслоений|отображения расслоений]] между локально тривиальными расслоениями, их часто называют ''гомоморфизмом (векторных) расслоений''.

Например, если <math>E</math>  — векторное расслоение на <math>X</math>, то существует расслоение <math>E^*</math> на <math>X</math>, называемое '''[[сопряженное расслоение|сопряженным расслоением]]''', слой которого в точке <math>x\in X</math>  — это [[Сопряжённое пространство|сопряженное]] векторное пространство <math>(E_x)^*</math>. Формально <math>E^*</math> можно определить как множество пар <math>(x,\varphi)</math>, где <math>x\in X</math> и <math>\varphi \in E_x^*</math>. Сопряженное расслоение локально тривиально.

* '''[[Сумма Уитни]]''' или '''расслоение прямой суммы''' <math>E</math> и <math>F</math>  — это векторное расслоение <math>E\oplus F</math> на <math>X</math>, слой которого в точке <math>x</math> является [[прямая сумма|прямой суммой]] <math> E_x\oplus F_x</math> векторных пространств <math>E_x</math> и <math>F_x</math>.

* '''Расслоение гомоморфизмов''' ('''hom-bundle''') <math>\operatorname{Hom}\,(E,F)</math>  — это векторное расслоение, слой которого в точке <math>x</math>  — пространство линейных отображений из <math>E_x</math> в <math>F_x</math> (часто обозначаемое <math>\operatorname{Hom}\,(E_x,F_x)</math> или <math>L(E_x,F_x)</math>). Это расслоение полезно, потому что существует биекция между гомоморфизмами векторных расслоений из <math>E</math> в <math>F</math> на <math>X</math> и частями <math>\operatorname{Hom}\,(E,F)</math> на <math>X</math>.

|автор = Мищенко  А.С.

* ''Jurgen Jost'' Riemannian Geometry and Geometric Analysis  — (2002) Springer-Verlag, Berlin ISBN 3-540-42627-2 ''See section 1.5''.

* ''[[:en:Ralph Abraham|Ralph Abraham]], Jerrold E. Marsden'' Foundations of Mechanics,  — (1978) Benjamin-Cummings, London ISBN 0-8053-0102-X ''See section 1.5''.