Гомотопические группы: различия между версиями
| [непроверенная версия] | [непроверенная версия] |
Содержимое удалено Содержимое добавлено
Alexbot (обсуждение | вклад) м робот добавил: nl:Homotopiegroep |
Mityafil (обсуждение | вклад) мНет описания правки |
||
Строка 31:
Точно так же, как и раньше можно доказать что при <math>n\geqslant 2</math> это множество образует группу — относительную гомотопическую группу порядка <math>n</math>. Если <math>n\geqslant 3</math> то предыдущий рисунок доказывает, что <math>\pi_n(X,A,x_0)</math> — абелева. (При n=2 доказательство не проходит, так как точки <math>I^1=\{x:x_2=0\}</math> могут переходить в точки <math>A</math>, отличные от <math>x_0</math>).
Вложение <math>i\colon(A,x_0)\to(X,x_0)</math> индуцирует [[гомоморфизм]] <math>i_*\colon\pi_n(A,x_0)\to\pi_n(X,x_0)</math>, а вложение <math>j\colon(X,x_0)\to(X,A,x_0)</math> (здесь <math>(X,x_0)</math> следует понимать как <math>(X,x_0,x_0)</math>), индуцирует гомоморфизм <math>j_*\colon\pi_n(X,x_0)\to\pi_n(X,A,x_0)</math>. Любой элемент <math>[f]\in\pi_n(X,A,x_0)</math> определяется отображением <math>f</math>, которое, в частности, переводит <math>I^{n-1}</math> в <math>A</math>, причём на <math>\partial I^{n-1}</math> f тождественно равно <math>x_0</math>, определяя элемент из <math>\pi_{n-1}(A,x_0)</math>. Таким образом мы получаем отображение <math>\partial \pi_n(X,A,x_0)\to\pi_{n-1}(A,x_0)</math>, которое является гомоморфизмом. Мы имеем следующую последовательность групп и гомоморфизмов:
<br /><math>...{\longrightarrow}\pi_n(A,x_0)\stackrel{i_{*n}}{\longrightarrow}\pi_n(X,x_0)\stackrel{j_{*n}}{\longrightarrow}\pi_n(X,A,x_0)\stackrel{\partial_n}{\longrightarrow}\pi_{n-1}(A,x_0){\longrightarrow}~... </math>
| |||