Эрмитов оператор: различия между версиями
| [непроверенная версия] | [непроверенная версия] |
Содержимое удалено Содержимое добавлено
Gryllida (обсуждение | вклад) разделение на секции |
Gryllida (обсуждение | вклад) →Свойства: доказательство свойства 2 |
||
Строка 4:
==Свойства==
Доказательство:
# У эрмитовой матрицы всегда существует ортонормированный базис из [[Собственные векторы, значения и пространства|собственных векторов]] - собственные векторы, соответствующие различным собственным значениям, ортогональны.▼
В унитарном пространстве скалярное произведение определяется как <math>\left( {x,y} \right) = \xi ^T \overline \eta</math>, где <math>\xi </math> и <math>\eta</math> - координатные столбцы векторов <math>x</math> и <math>y</math> соответственно. Отсюда по определению самосопряжённого оператора равны выражения
<math>\left( {A\left( x \right),y} \right) = \left( {A\xi } \right)^T \overline \eta = \xi ^T A^T \overline \eta </math>
и
<math>\left( {x,A\left( y \right)} \right) = \xi ^T \overline {A\eta } = \xi ^T \overline A \overline \eta </math>
Следовательно, <math>A^T = \overline A</math>, что и есть определение эрмитовой матрицы.
Доказательство завершено.
▲
Матрицей, эрмитово сопряжённой к данной, называют матрицу <math>\frac{}{}A^\dagger,</math> получаемую из исходной матрицы <math>\frac{}{}A</math> путем её [[Транспонированная матрица|транспонирования]] и перехода к комплексно сопряжённой, то есть <math>\frac{}{}(A^\dagger)_{ij}=A^*_{ji}.</math> Матрицу, равную своему эрмитовому сопряжению, называют эрмитовой, или самосопряжённой: <math> \frac{}{} A^\dagger = A.</math>
==Применение==
| |||