Эрмитов оператор: различия между версиями
| [непроверенная версия] | [непроверенная версия] |
Содержимое удалено Содержимое добавлено
Gryllida (обсуждение | вклад) →Свойства: доказательство первого |
Gryllida (обсуждение | вклад) →Свойства: доказательство свойства 3, оформление |
||
Строка 4:
==Свойства==
:Доказательство:
:Для всякого [[Собственные векторы, значения и пространства|собственного значения]] <math>\lambda</math> по определению верно <math>A\left( x \right) = \lambda x</math>. Следовательно, по определению самосопряжённого преобразования равны следующие выражения:
:<math>\left( {A\left( x \right),x} \right) = \left( {\lambda x,x} \right) = \lambda \left( {x,x} \right)</math>
:и
:<math>\left( {x,A\left( x \right)} \right) = \left( {x,\lambda x} \right) = \overline \lambda \left( {x,x} \right)</math>,
:откуда <math>\lambda = \overline \lambda </math> -- число <math>\lambda </math> вещественное.
:Доказательство завершено.
Доказательство:
:В унитарном пространстве скалярное произведение определяется как <math>\left( {x,y} \right) = \xi ^T \overline \eta</math>, где <math>\xi </math> и <math>\eta</math> - координатные столбцы векторов <math>x</math> и <math>y</math> соответственно. Отсюда по определению самосопряжённого оператора равны выражения
:и▼
:<math>\left( {x,A\left( y \right)} \right) = \xi ^T \overline {A\eta } = \xi ^T \overline A \overline \eta </math>▼
:Следовательно, <math>A^T = \overline A</math>, что и есть определение эрмитовой матрицы.▼
:Доказательство завершено.▼
:Лемма 1. Собственные подпространства самосопряжённого преобразования попарно ортогональны.
▲ <math>\left( {A\left( x \right),y} \right) = \left( {A\xi } \right)^T \overline \eta = \xi ^T A^T \overline \eta </math>
::Доказательство леммы 1: Имеются два различных собственных значения <math>\lambda </math> и <math>\mu </math>. Соответственно для векторов <math>x</math> и <math>y</math> из соответствующих им собственных подпространств выполняется <math>A\left( x \right) = \lambda x</math> и <math>A\left( y \right) = \mu y</math>. Отсюда <math>\left( {A\left( x \right),y} \right) = \left( {\lambda x,y} \right) = \lambda \left( {x,y} \right)</math> равно <math>\left( {x,A\left( y \right)} \right) = \left( {x,\mu y} \right) = \overline \mu \left( {x,y} \right)</math>. Но собственные значения самосопряжённого преобразования вещественны, можно из последнего выражения вынести <math>\left( {x,A\left( y \right)} \right) = \mu \left( {x,y} \right)</math>. Таким образом, по определению самосопряжённого преобразования можно получить <math>\left( {\lambda - \mu } \right)\left( {x,y} \right) = 0</math>, откуда при различности собственных значений <math>\lambda \ne \mu </math> ясно, что <math>\left( {x,y} \right) = 0</math>, что и требовалось доказать.
:Лемма 2. Если подпространство <math>E'</math> инвариантно относительно самосопряжённого преобразования <math>A</math>, то ортогональное дополнение этого подпространства также инвариантно относительно <math>A</math>.
▲и
::Доказательство леммы 2: Известно, что образ любого вектора <math>x</math>, принадлежащего подпространству <math>E'</math>, лежит в нём. Следовательно, для любого вектора <math>y \in \left( {E'} \right)^ \bot </math> выполняется <math>\left( {A\left( x \right),y} \right) = 0</math>. Так как преобразование <math>A</math> самосопряжённое, то отсюда следует, что <math>\left( {x,A\left( y \right)} \right) = 0</math>, то есть образ любого вектора <math>y</math> из <math>\left( {E'} \right)^ \bot </math> принадлежит <math>\left( {E'} \right)^ \bot </math>, что и означает, что подпространство <math>\left( {E'} \right)^ \bot </math> инвариантно относительно преобразования A, что и требовалось доказать.
▲<math>\left( {x,A\left( y \right)} \right) = \xi ^T \overline {A\eta } = \xi ^T \overline A \overline \eta </math>
:Доказательство свойства 3:
▲Следовательно, <math>A^T = \overline A</math>, что и есть определение эрмитовой матрицы.
:Для оператора R в n-мерном пространстве существует по крайней мере одно собственное значение<math> \lambda_1 </math>. По лемме 1 это собственное значение вещественно. Можно найти отвечающий ему собственный вектор е<sub>1</sub>. Без ограничения общности можно считать, что |е<sub>1</sub>| = 1. Если п=1, то доказательство завершено.
▲Доказательство завершено.
:Рассмотрим Е<sub>1</sub> - линейную оболочку элемента е<sub>1</sub>, являющуюся одномерным инвариантным собственным подпространством R. Пусть Е<sup>n-1</sup> - ортогональное дополнение к Е . Тогда по лемме 2 Е<sup>n-1</sup> инвариантно относительно рассматриваемого оператора. Рассмотрим его теперь как R', как действующий только в Е<sup>n-1</sup> . Тогда очевидно, что он будет самосопряженным оператором, заданным в Е<sup>n-1</sup> , поскольку Е<sup>n-1</sup> инвариантно относительно R по лемме 2 и, кроме того, для <math> \forall </math>х,у <math> \in </math> Е<sup>n</sup> : (Rx,y) = (x,Ry), в том числе и для <math> \forall </math>х,у <math> \in </math> Е<sup>n-1</sup>.
:Применяя изложенные выше рассуждения, найдем новое собственное значение <math> \lambda_2 </math> и соответствующий ему собственный вектор <math> e_2 </math> . Без ограничения общности можно считать, что |е<sub>2</sub>| = 1. При этом <math> \lambda_2 </math> может случайно совпасть с <math> \lambda_1 </math> , однако, из построения ясно, что <math> (e_1, e_2) = 0</math>. Если п=2, то доказательство завершено. Иначе рассмотрим Е - линейную оболочку <math> {(e_1, e_2)} </math> и ее ортогональное дополнение Е<sup>n-2</sup>. Найдём новое собственное значение <math> \lambda_3 </math> и соответствующий ему собственный вектор <math>e_3 </math> и т.д.
:Аналогичные рассуждения проводим до исчерпания Е<sup>n</sup> .
▲:3. У эрмитовой матрицы всегда существует ортонормированный базис из [[Собственные векторы, значения и пространства|собственных векторов]] - собственные векторы, соответствующие различным собственным значениям, ортогональны.
:Доказательство завершено.
Матрицей, эрмитово сопряжённой к данной, называют матрицу <math>\frac{}{}A^\dagger,</math> получаемую из исходной матрицы <math>\frac{}{}A</math> путем её [[Транспонированная матрица|транспонирования]] и перехода к комплексно сопряжённой, то есть <math>\frac{}{}(A^\dagger)_{ij}=A^*_{ji}.</math> Матрицу, равную своему эрмитовому сопряжению, называют эрмитовой, или самосопряжённой: <math> \frac{}{} A^\dagger = A.</math>
| |||