Википедия

Ортогональный базис: различия между версиями

Интерактивная навигация по истории
[непроверенная версия][отпатрулированная версия]
← Предыдущая правкаСледующая правка →
Содержимое удалено Содержимое добавлено
ВизуальныйВики-текст
← Отмена правки 18867534 участника Euandrew (обс)
Строка 7:
 
Последнее удобно записывается при помощи [[Символ Кронекера|символа Кронекера]]:
: <math> ( e_i, e_j ) = \delta_{ij}\ </math>
то есть [[скалярное произведение]] каждой пары базисных векторов равно нулю, когда они не совпадают (<math>i\ne j</math>), и равно единице при совпадающем индексе, то есть когда берется скалярное произведение любого базисного вектора с самим собой.
 
Очень многое записывается в ортонормированномортогональном базисе гораздо проще, чем в произвольном, поэтому очень часто стараются использовать именно такие базисы, если только это возможно или использование какого-то специального неортогонального базиса не дает особых специальных удобств. Или если не отказываются от него в пользу базиса общего вида из соображений общности.
 
Ортонормированный базис является самодуальным ([[Дуальный базис|дуальный]] ему базис совпадает с ним самим). Поэтому в немнём можно не делать различия между верхними и нижними индексами, и пользоваться, скажем, только нижними (как обычно и принято, если конечно при этом используются только ортонормированные базисы).
 
Линейная независимость следует из ортогональности, то есть достигается для ортогональной системы векторов автоматически.
 
РазложениеКоэффициенты в разложении вектора по ортонормированномуортогональному базису:
: <math>\ \mathbf{a} = a_1 \mathbf{e_1} + a_2 \mathbf{e_2} + ... + a_n \mathbf{e_n} </math>
можно найти так:
: <math>\ a_i = \frac{(\mathbf{a} ,\cdot mathbf{e_i})}{(\mathbf{e_i},\mathbf{e_i})} </math>.
то есть каждый коэффициент разложения (координата) любого вектора в ортонормированном базисе равна просто скалярному произведению этого вектора на соответствующий базисный вектор.
 
Полнота ортонормированной системы векторов эквивалентна [[равенство Парсеваля|равенству Парсеваля]]: для любого вектора <math>\mathbf{a}</math> квадрат нормы вектора равен сумме квадратов коэффициентов его разложения по базису:
: <math>(\mathbf{a},\mathbf{a}) = \sum_i (\mathbf{a},\mathbf{e_i})^2,</math>
то есть квадрат нормы вектора равен сумме квадратов коэффициентов его разложения по базису.
 
Аналогичные соотношения имеют место и для бесконечномерного случая (см. ниже).
Строка 33 ⟶ 31 :
называемого [[ряд Фурье|рядом Фурье]] элемента <math>x</math> по системе <math>\{e_n\}</math>.
 
ОбычноЧасто базис <math>\{e_n\}</math> выбирается так, что <math>|e_n|=1</math>, и тогда он называется '''ортонормированным базисом'''. В этом случае числа <math>a_n</math>, называются коэффициентами Фурье элемента <math>x</math> по ортонормированному базису <math>\{e_n\}</math>, имеют вид
: <math>a_n=( x,e_n )</math>.
Необходимым и достаточным условием того, чтобы ортонормированная система <math>\{e_n\}</math> была базисом, является [[равенство Парсеваля]].
 
Гильбертово пространство, имеющее ортонормированный базис, является [[сепарабельное пространство|сепарабельным]], и обратно, во всяком сепарабельном гильбертовом пространстве существует ортонормированный базис.
Строка 41 ⟶ 39 :
Если задана произвольная система чисел <math>\{a_n\}</math> такая, что <math>\sum_{n=1}^\infty a_n^2<\infty</math>, то в случае гильбертова пространства
с ортонормированным базисом <math>\{e_n\}</math> ряд <math>\sum_{n=1}^\infty a_ne_n</math> — сходится по норме к некоторому элементу <math>x\in X</math>.
Этим устанавливается изоморфизм любого сепарабельного гильбертова пространства пространству <math>l_2</math> ([[теорема Рисса]] — Фишера).
 
== См. также ==
Строка 49 ⟶ 47 :
* [[Процесс Грама ― Шмидта]]
 
{{rq|sources|img|topic=math}}
{{нет источников}}
<!-- Всё верно, но нужны ссылки на математические справочники. -->
 
Источник — https://ru.wikipedia.org/wiki/Ортогональный_базис