Эллиптический фильтр: различия между версиями

-реф
(категория)
(-реф)
{{Линейные электронные фильтры}}
 
'''Эллиптический фильтр''' ('''Фильтр Кауэра''')  — [[электронный фильтр]], характерной особенностью которого является пульсации [[амплитудно-частотная характеристика|амплитудно-частотной характеристики]] как в [[полоса пропускания|полосе пропускания]], так и [[полоса подавления|полосе подавления]]. Величина пульсаций в каждой из полос независима друг от друга. Другой отличительной особенностью такого фильтра является очень крутой спад амплитудной характеристики, поэтому с помощью этого фильтра можно достигать более эффективного разделения частот, чем с помощью других линейных фильтров.
 
Если пульсации в полосе подавления равны нулю, то эллиптический фильтр становится [[Фильтр Чебышёва|фильтром Чебышёва I рода]]. Если пульсации равны нулю в полосе пропускания, то фильтр становится фильтром Чебышёва II рода. Если же пульсации отсутствуют на всей амплитудной характеристике, то фильтр становится [[Фильтр Баттерворта|фильтром Баттерворта]].
</math>
 
где R<sub>n</sub>  — рациональная [[эллиптическая функция]] ''n''-го порядка и
 
: <math>\omega_0</math>  — [[частота среза]]
: <math>\epsilon</math>  — показатель пульсаций ({{lang-en|ripple factor}})
: <math>\xi</math>  — показатель селективности ({{lang-en|selectivity factor}})
 
Значение показателя пульсаций определяет пульсации в полосе пропускания, пульсации же в полосе подавления зависят как от показателя пульсаций, так и от показателя селективности.
== Свойства ==
 
[[ИзображениеФайл:CauerResponse1.png|thumb|right|340px|АЧХ эллиптического фильтр низких частот четвёртого порядка с ε=0,5 и ξ=1,05. Также показано минимальное усиление в полосе пропускания, максимальное усиление в полосе подавления и переходная зона между частотами (нормированными) 1 и ξ]]
[[ИзображениеФайл:CauerResponse2.png|thumb|right|340px| Переходная зона (увеличено).]]
 
* В полосе пропускания эллиптическая функция меняет значения от нуля до единицы. Полоса пропускания, таким образом, варьирует от единицы до <math>1/\sqrt{1+\epsilon^2}</math>.
== Полюсы и нули ==
 
[[ИзображениеФайл:EllipticGain8.png|right|thumb|300px|Лограрифм модуля АЧХ эллиптического фильтра 8 порядка на плоскости комплексной частоты (s=σ+jω) с ε=0,5, ξ=1,05 и <math>\omega_0=1</math>. Белые пятна  — полюса, тёмные  — нули. Всего на графике 16 полюсов и 8 нулей второго порядка. На графике чёрный цвет соответствует усилению менее 0,0001, а белый  — усилению более 10.]]
[[ИзображениеФайл:EllipticGain8a.png|right|thumb|300px|Переходная зона фильтра (увеличено).]]
 
[[Нуль (ТФКП)|Нули]] модуля АЧХ совпадают с [[полюс (ТФКП)|полюсами]] дробно-рациональной эллиптической функции.
: <math>1+\epsilon^2R_n^2(-js,\xi)=0\,</math>
 
Пусть <math>-js=\mathrm{cd}(w,1/\xi)</math>, где cd  — [[Эллиптическая функция Якоби|эллиптическая косинус-функция Якоби]]. Тогда, используя определение эллиптической дробно-рациональной функции, получим:
 
: <math>1+\epsilon^2\mathrm{cd}^2\left(\frac{nwK_n}{K},\frac{1}{L_n}\right)=0\,</math>
: <math>c=1-\zeta_n^2+x_i^2\zeta_n^2/\xi^2,</math>
 
где <math>\zeta_n</math>  — функция от <math>n,\,\epsilon</math>, а <math>\xi</math> и <math>x_m</math>  — нули эллиптической функции. Функция <math>\zeta_n</math> определена для всех ''n'' в смысле эллиптической функции Якоби. Для порядков 1 и 2 имеем
 
: <math>\zeta_1=\frac{1}{\sqrt{1+\epsilon^2}},</math>
 
== Эллиптические фильтры с минимальной добротностью ==
[[ИзображениеФайл:Elliptic8_Qfactor.png|300px|thumb|right|Нормированные добротности для полюсов эллиптического фильтра восьмого порядка с ξ=1,1 как функции показателя пульсаций ε. Каждая кривая представляет четыре полюса, так как комплексно сопряжённые и противоположные по знаку пары полюсов имеют одинаковую добротность. Добротность всех полюсов имеет минимум при ε<sub>Qmin</sub>=1/√L<sub>n</sub>=0,02323…]]
 
См. <ref>{{книга
Ниже представлены графики амплитудно-частотных характеристик некоторых наиболее распространённых линейных электронных фильтров с одинаковым количеством коэффициентов:
 
[[ИзображениеФайл:Filter comparison.PNG|560px|center]]
 
Как следует из графика эллиптический фильтр имеет наибольшую крутизну характеристики, однако он также обладает и значительными пульсациями как в полосе пропускания, так и в полосе подавления.
 
== Ссылки ==
* [http://www.dsp.sut.ru/rus/training/book/lections/l3/l3_2.htm Лекция по цифровой фильтрации] (битая)
* [http://www.gaw.ru/html.cgi/txt/doc/op/funop_11_2.htm Фильтры нижних частот]
* [http://www.nsu.ru/education/cmet/node53.html Расчёт рекурсивных фильтров]