Эллиптический фильтр: различия между версиями

'''Эллиптический фильтр''' ('''Фильтр Кауэра''')  — [[электронный фильтр]], характерной особенностью которого является пульсации [[амплитудно-частотная характеристика|амплитудно-частотной характеристики]] как в [[полоса пропускания|полосе пропускания]], так и [[полоса подавления|полосе подавления]]. Величина пульсаций в каждой из полос независима друг от друга. Другой отличительной особенностью такого фильтра является очень крутой спад амплитудной характеристики, поэтому с помощью этого фильтра можно достигать более эффективного разделения частот, чем с помощью других линейных фильтров.

где R_n  — рациональная [[эллиптическая функция]] ''n''-го порядка и

: <math>\omega_0</math>  — [[частота среза]]

: <math>\epsilon</math>  — показатель пульсаций ({{lang-en|ripple factor}})

: <math>\xi</math>  — показатель селективности ({{lang-en|selectivity factor}})

[[ИзображениеФайл:CauerResponse1.png|thumb|right|340px|АЧХ эллиптического фильтр низких частот четвёртого порядка с ε=0,5 и ξ=1,05. Также показано минимальное усиление в полосе пропускания, максимальное усиление в полосе подавления и переходная зона между частотами (нормированными) 1 и ξ]]

[[ИзображениеФайл:CauerResponse2.png|thumb|right|340px| Переходная зона (увеличено).]]

[[ИзображениеФайл:EllipticGain8.png|right|thumb|300px|Лограрифм модуля АЧХ эллиптического фильтра 8 порядка на плоскости комплексной частоты (s=σ+jω) с ε=0,5, ξ=1,05 и <math>\omega_0=1</math>. Белые пятна  — полюса, тёмные  — нули. Всего на графике 16 полюсов и 8 нулей второго порядка. На графике чёрный цвет соответствует усилению менее 0,0001, а белый  — усилению более 10.]]

[[ИзображениеФайл:EllipticGain8a.png|right|thumb|300px|Переходная зона фильтра (увеличено).]]

Пусть <math>-js=\mathrm{cd}(w,1/\xi)</math>, где cd  — [[Эллиптическая функция Якоби|эллиптическая косинус-функция Якоби]]. Тогда, используя определение эллиптической дробно-рациональной функции, получим:

где <math>\zeta_n</math>  — функция от <math>n,\,\epsilon</math>, а <math>\xi</math> и <math>x_m</math>  — нули эллиптической функции. Функция <math>\zeta_n</math> определена для всех ''n'' в смысле эллиптической функции Якоби. Для порядков 1 и 2 имеем

[[ИзображениеФайл:Elliptic8_Qfactor.png|300px|thumb|right|Нормированные добротности для полюсов эллиптического фильтра восьмого порядка с ξ=1,1 как функции показателя пульсаций ε. Каждая кривая представляет четыре полюса, так как комплексно сопряжённые и противоположные по знаку пары полюсов имеют одинаковую добротность. Добротность всех полюсов имеет минимум при ε_Qmin=1/√L_n=0,02323…]]

[[ИзображениеФайл:Filter comparison.PNG|560px|center]]