Комплексные сети: различия между версиями

Большинство объектов природы и общества имеют бинарные связи, которые можно представить в виде сети, где каждый объект это точка, а его связь с другим объектом это линия или дуга.

Так отношения между людьми в группе, отношения между фирмами, [[компьютерные сети]], [[Веб]], отношения между генами в ДНК – — все это примеры сетей<ref name="lit1"> {{книга

}}</ref> .

Топологические свойства этих сетей (см. [[Топология]]), рассматриваемые отвлеченно от их физической природы, но существенно определяющие функционирование сетей, и составляют предмет исследования комплексных сетей.

Комплексные сети это относительно новая, бурно развивающаяся междисциплинарная область знаний. Сейчас закладываются ее основные понятия и получены только первые результаты. Работающие в этой области исследователи пришли из математики, компьютерных наук, физики, биологии, социологии, экономики. Соответственно результаты исследований имеют как теоретическое значение, так и практические приложения в этих науках.

Каждый узел сети (node) может быть связан с другими узлами определенным числом связей (links). Связи между узлами могут иметь направление. В этом случае сеть называется ориентированной (directed network). Если связь симметрична для обеих связанных ею узлов, то образованная такими связями сеть называется неориентированной сетью (undirected network). Например, Веб это ориентированная сеть, а интернет это неориентированная сеть. Иногда вопрос об ориентированности сети не столь тривиален. Например, отношения между людьми. Если считать что связь существует, если две персоны являются близкими друзьями, то сеть будет неориентированной. Если считать что связь существует, если одна персона считает себя другом другой, то образованная сеть будет ориентированной.

Минимальное число связей, которое необходимо преодолеть, чтобы попасть из узла в узел, называется расстоянием между узлами. Усредненное расстояние между всеми парами узлов сети, для которых существует путь перехода из одного в другой, называется средним расстоянием между узлами <math>d</math>. Для большинства комплексных сетей <math>~d \sim \log(N)</math> , где <math>N</math> - — количество узлов в сети.

Будем называть два узла соседями, если существует связь между ними. Для комплексных сетей характерно, что два узла, соседних к какому-либо узлу, часто также являются соседями между собой. Чтобы охарактеризовать это явление и был предложен кластерный коэффициент <math> C_i</math> узла <math>i</math>.

Предположим, что узел имеет степень <math>k_i</math> , это значит, что у него <math>k_i</math> соседей и между ними может быть максимум <math>k_i* (k_i-1)/2</math> связей. Тогда

: <math> C_i = \frac{n_i*2 n_i}{k_i* (k_i-1)} ,</math>,
где <math>n_i</math> число связей между соседями узла <math>i</math>.

Очевидно, что всегда <math>0 \leqslant C_i \leqslant 1</math>.

В сети возможна ситуация, когда узлы, имеющие большую степень ("«звезды"»), преимущественно связаны с узлами, имеющими большую степень. Иными словами "«звезды"» "«предпочитают"» быть связанными со "«звездами"». Такие сети называют ассортативными.

Возможна также обратная ситуация: "«звезды"» связаны с другими "«звездами"» через цепочки узлов, имеющих малое число соседей. Такие сети называют дисассортативными.

Чтобы охарактеризовать это свойство пользуются коэффициентом ассортивносни <math>r</math> , так называется [[коэффициент корреляции]] Пирсона между степенью соседних узлов. По определению, <math> 1 \le r \le -1 </math>. Для ассортативных сетей <math>r > 0</math>, для дисассорвативных сетей <math>r < 0</math>. Сети связанные с общественными явлениями являются ассортативными. Сети связанные с биологическими явлениями чаще дисассортативны. Существуют сети не имеющие выраженной ассортативности с <math>r</math> близким к нулю.