Пи (число): различия между версиями

[непроверенная версия][непроверенная версия]
Содержимое удалено Содержимое добавлено
Строка 167:
примечательна тем, что она позволяет извлечь любую конкретную шестнадцатеричную или двоичную цифру числа <math>\pi</math> без вычисления предыдущих.<ref name="bbpf"/> С 1998 до 2000 года [[распределённые вычисления|распределённый]] проект [[PiHex]] использовал видоизменённую формулу ББП [[Беллар, Фабрис|Фабриса Беллара]] для вычисления [[квадриллион]]ного (1 000 000 000 000 000-го) бита числа <math>\pi</math>, который оказался нулём.<ref>{{cite web|url=http://fabrice.bellard.free.fr/pi/pi_bin/pi_bin.html|title=A new formula to compute the n<sup>th</sup> binary digit of pi|first=Fabrice|last=Bellard|authorlink=Fabrice Bellard|accessdate=2007-10-27}}</ref>
 
В 2006 году Саймон Плафф, используя [[:en:integer relation algorithm]] PSLQ, нашёл ряд красивых формул.<ref>{{cite web|url=http://www.lacim.uqam.ca/~plouffe/inspired2.pdf|title=Indentities inspired by Ramanujan's Notebooks (part 2)|first=Simon|last=Plouffe|authorlink=Simon Plouffe|accessdate=2009-4-10}}</ref> Пусть ''q'' = [[:en:Gelfond'sПостоянная constantГельфонда|e<sup>π</sup>]], тогда
 
: <math>\frac{\pi}{24} = \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n} \left(\frac{3}{q^n-1} - \frac{4}{q^{2n}-1} + \frac{1}{q^{4n}-1}\right) </math>
Строка 177:
: <math>\pi^k = \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^k} \left(\frac{a}{q^n-1} + \frac{b}{q^{2n}-1} + \frac{c}{q^{4n}-1}\right) </math>
 
где ''q'' = [[:en:Gelfond'sПостоянная constantГельфонда|''e''<sup>π</sup>]], ''k'' — [[нечётное число]], и ''a'',&nbsp;''b'',&nbsp;''c'' — [[рациональное число|рациональные числа]]. Если ''k'' — вида 4''m''&nbsp;+&nbsp;3, то эта формула имеет особенно простой вид:
 
: <math>p\pi^k = \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^k} \left(\frac{2^{k-1}}{q^n-1} - \frac{2^{k-1}+1}{q^{2n}-1} + \frac{1}{q^{4n}-1}\right) </math>