Конечное расширение: различия между версиями

[отпатрулированная версия][отпатрулированная версия]
Содержимое удалено Содержимое добавлено
+ выделение термина, + математика, + оформление
→‎Свойства конечных расширений: переписал в math-style. Но не понимаю последней фразы...
Строка 9:
Если [[неприводимый многочлен]] ''α'' над ''K'' имеет степень ''n'', то ''[E:K]=n''
 
Symbol'В башне полей <math>&Igrave;K\supset E \supset F</spanmath>, F''поле ''F'' конечно над ''K'' тогда и только тогда, когда ''F'' конечно над ''E'' и ''E'' конечно над ''K''. Это легко следует из основных свойств векторных пространств. В этом случае если ''e<sub>1</sub>,...e<sub>n</sub>'' - базис ''E'' над ''K'' и ''f<sub>1</sub>,...f<sub>m</sub>'' - базис ''F'' над ''E'' то ''f<sub>1</sub>e<sub>1</sub>, f<sub>1</sub>e<sub>2</sub>,... f<sub>1</sub>e<sub>n</sub>, f<sub>2</sub>e<sub>1</sub>,...f<sub>m</sub>e<sub>1</sub>,...f<sub>m</sub>e<sub>n</sub>'' - базис ''F'' над ''K'', отсюда ''[F:E][E:K]=[F:K]''
В башне полей ''K<span style='font-family:
Symbol'>&Igrave;</span> E<span style='font-family:
Symbol'>&Igrave;</span> F'' ''F'' конечно над ''K'' тогда и только тогда, когда ''F'' конечно над ''E'' и ''E'' конечно над ''K''. Это легко следует из основных свойств векторных пространств. В этом случае если ''e<sub>1</sub>,...e<sub>n</sub>'' - базис ''E'' над ''K'' и ''f<sub>1</sub>,...f<sub>m</sub>'' - базис ''F'' над ''E'' то ''f<sub>1</sub>e<sub>1</sub>, f<sub>1</sub>e<sub>2</sub>,... f<sub>1</sub>e<sub>n</sub>, f<sub>2</sub>e<sub>1</sub>,...f<sub>m</sub>e<sub>1</sub>,...f<sub>m</sub>e<sub>n</sub>'' - базис ''F'' над ''K'', отсюда ''[F:E][E:K]=[F:K]''
 
Конечное расширение E является [[Конечно порождённое расширение|конечно порождённым]]. В качестве порождающих элементов можно взять элементы любого базиса ''E=K(e<sub>1</sub>,...e<sub>n</sub>)''. Обратно, любое конечно порождённое алгебраическое расширение является конечным. В самом деле, ''K(&alpha;<sub>1</sub>,&alpha;<sub>2</sub>,...&alpha;<sub>n</sub>)=K(&alpha;<sub>1</sub>)(&alpha;<sub>2</sub>)...(&alpha;<sub>n</sub>)''. Элементы ''&alpha;<sub>i</sub>'' будучи алгебраическими над ''K'' остаются таковыми и над бо́льшим полем ''K(&alpha;<sub>1</sub>)...(&alpha;<sub>i-1</sub>)''. Далее применяем теоремы о конечности простых алгебраических расширений и башне конечных расширений.
 
Symbol'Если <math>&Igrave;E \supset K</spanmath> конечно, то для любого расширения <math>F \supset K''</math> то, (если ''F'' и ''E'' содержатся в каком-нибудь поле) композит полей ''EF'' является конечным расширением ''F'')
Если ''E<span style='font-family:
Symbol'>&Igrave;</span> K'' конечно, то для любого расширения ''F<span style='font-family:
Symbol'>&Igrave;</span> K'' то, (если ''F'' и ''E'' содержатся в каком-нибудь поле) композит полей ''EF'' является конечным расширением ''F'')
 
== Литература ==