Конечное расширение: различия между версиями
[отпатрулированная версия] | [отпатрулированная версия] |
Содержимое удалено Содержимое добавлено
Burivykh (обсуждение | вклад) + выделение термина, + математика, + оформление |
Burivykh (обсуждение | вклад) →Свойства конечных расширений: переписал в math-style. Но не понимаю последней фразы... |
||
Строка 9:
Если [[неприводимый многочлен]] ''α'' над ''K'' имеет степень ''n'', то ''[E:K]=n''
▲Symbol'>Ì</span> F'' ''F'' конечно над ''K'' тогда и только тогда, когда ''F'' конечно над ''E'' и ''E'' конечно над ''K''. Это легко следует из основных свойств векторных пространств. В этом случае если ''e<sub>1</sub>,...e<sub>n</sub>'' - базис ''E'' над ''K'' и ''f<sub>1</sub>,...f<sub>m</sub>'' - базис ''F'' над ''E'' то ''f<sub>1</sub>e<sub>1</sub>, f<sub>1</sub>e<sub>2</sub>,... f<sub>1</sub>e<sub>n</sub>, f<sub>2</sub>e<sub>1</sub>,...f<sub>m</sub>e<sub>1</sub>,...f<sub>m</sub>e<sub>n</sub>'' - базис ''F'' над ''K'', отсюда ''[F:E][E:K]=[F:K]''
Конечное расширение E является [[Конечно порождённое расширение|конечно порождённым]]. В качестве порождающих элементов можно взять элементы любого базиса ''E=K(e<sub>1</sub>,...e<sub>n</sub>)''. Обратно, любое конечно порождённое алгебраическое расширение является конечным. В самом деле, ''K(α<sub>1</sub>,α<sub>2</sub>,...α<sub>n</sub>)=K(α<sub>1</sub>)(α<sub>2</sub>)...(α<sub>n</sub>)''. Элементы ''α<sub>i</sub>'' будучи алгебраическими над ''K'' остаются таковыми и над бо́льшим полем ''K(α<sub>1</sub>)...(α<sub>i-1</sub>)''. Далее применяем теоремы о конечности простых алгебраических расширений и башне конечных расширений.
▲Symbol'>Ì</span> K'' то, (если ''F'' и ''E'' содержатся в каком-нибудь поле) композит полей ''EF'' является конечным расширением ''F'')
== Литература ==
|