Ортогональные функции: различия между версиями

Нет описания правки
м (добавлена категория «Математика»; убрано {{нет категорий}} с помощью HotCat)
: <math>\int\limits_{a}^{b}\!\varphi_1(t)\varphi_2(t)\,dt = 0</math>
 
Для комплексных функций вводится [[комплексное сопряжение]] одной из функций под интегралом, для векторных  — [[скалярное произведение]] функций под интегралом, а также интегрирование по отрезку заменяется на интегрирование по области соответствующей размерности.
 
Полезным обобщением понятия ортогональности является ортогональность с определённым весом. Ортогональны с весом <math>w</math> функции <math>f</math> и <math>g</math>, если
: <math>\ \int\limits_\Omega\!\langle f(x),g(x)\rangle w(x)\,d\Omega = 0</math>
 
где <math>\langle f(x), g(x)\rangle</math>  — скалярное произведение векторов <math>f(x)</math> и <math>g(x)</math>  — значений векторнозначных функций <math>f</math> и <math>g</math> в точке <math>x</math>, <math>x</math>  — точка области <math>\Omega</math>, а <math>d\Omega</math>  — элемент её объёма ([[Мера (математика)|меры]]). Эта формула записана наиболее общим способом по сравнению со всеми выше. В случае вещественных скалярных <math>f(x)</math>, <math>g(x)</math> скалярное произведение следует заменить на обычное; в случае комплексных скалярных <math>f(x)</math>, <math>g(x)</math>: <math>\langle f(x), g(x)\rangle = \bar f (x) g(x)</math>.
 
== Пример ==
# <math>\sin (2\pi fx)</math> и <math>\cos (2\pi fx)</math> являются ортогональными функциями на интервале <math>[0, T], T = 1 / f</math>
# <math>\sin (2\pi f_nx)</math>, <math>\cos (2\pi f_nx)</math>, где <math>f_n = nf_0</math>, <math>n</math>  — целое, на интервале <math>[0, T], T = 1 / f_0</math>
 
== См. также ==
[[ja:直交関数列]]
 
[[Категория:МатематикаФункции]]