Фактормножество: различия между версиями
[непроверенная версия] | [непроверенная версия] |
Содержимое удалено Содержимое добавлено
Babina (обсуждение | вклад) дополнение |
KleverI (обсуждение | вклад) мНет описания правки |
||
Строка 1:
Пусть есть множество <math>X</math>, на котором введено [[отношение эквивалентности]] <math>\sim</math> (то есть которое обладает следующими свойствами: каждый элемент множества эквивалентен сам себе; если <math>x</math> эквивалентно <math>y</math>, то <math>y</math> эквивалентно <math>x</math>; если <math>x</math> эквивалентно <math>y</math>, а <math>y</math> эквивалентно <math>z</math>, то <math>x</math> эквивалентно <math>z</math>).
Тогда множество всех классов эквивалентности называется '''фактормножеством''' и обозначается <math>X/\!\sim</math>. Разбиение множества на классы эквивалентных элементов называется его '''факторизацией'''.
Отображение из <math>X</math> в множество классов эквивалентности <math>X/\!\sim</math> называется '''факторотображением'''. Благодаря свойствам отношения эквивалентности, разбиение на множества единственно. Это означает, что классы, содержащие <math>\forall x,\;y\in X</math>, либо не пересекаются, либо совпадают полностью.
Часто отношение эквивалентности вводят следующим образом. Пусть <math>X</math>
▲Часто отношение эквивалентности вводят следующим образом. Пусть <math>X</math> - [[Векторное_пространство|линейное пространство]], а <math>L</math> - некоторое линейное подпространство. Тогда два элемента <math>x,y\in X</math> называются эквивалентными(<math>x\overset {L}{\sim} y</math>) если <math>x-y\in L</math>. Получаемое в результате факторизации пространство <math>X/\!\overset {L}{\sim}</math>называют '''факторпространством по подпространству L'''. Если <math>X</math> - [[конечномерное пространство]], то фактор-пространство <math>X/\!\overset {L}{\sim}</math> также является конечномерным и <math>dim X/\!\overset {L}{\sim}=dim X-dim L</math>.
== Примеры ==
Строка 17 ⟶ 14 :
=== Примеры ===
* [[Проективная плоскость|Проективную плоскость]] <math>\R P^2</math> можно определить как факторпространство [[Сфера#Двумерная сфера (в трёхмерном пространстве)|двумерной сферы]], задав отношение эквивалентности <math>(x,\;y,\;z)\sim(-x,\;-y,\;-z)</math>.
* [[Бутылка Клейна|Бутылку Клейна]] можно представить как факторпространство цилиндра <math>S^1\times
== См. также ==
|