Фактормножество: различия между версиями

[непроверенная версия][непроверенная версия]
Содержимое удалено Содержимое добавлено
дополнение
мНет описания правки
Строка 1:
Пусть есть множество <math>X</math>, на котором введено [[отношение эквивалентности]] <math>\sim</math> (то есть которое обладает следующими свойствами: каждый элемент множества эквивалентен сам себе; если <math>x</math> эквивалентно <math>y</math>, то <math>y</math> эквивалентно <math>x</math>; если <math>x</math> эквивалентно <math>y</math>, а <math>y</math> эквивалентно <math>z</math>, то <math>x</math> эквивалентно <math>z</math>).
 
Тогда множество всех классов эквивалентности называется '''фактормножеством''' и обозначается <math>X/\!\sim</math>. Разбиение множества на классы эквивалентных элементов называется его '''факторизацией'''.
Разбиение множества на классы эквивалентных элементов называется его '''факторизацией'''.
 
Отображение из <math>X</math> в множество классов эквивалентности <math>X/\!\sim</math> называется '''факторотображением'''. Благодаря свойствам отношения эквивалентности, разбиение на множества единственно. Это означает, что классы, содержащие <math>\forall x,\;y\in X</math>, либо не пересекаются, либо совпадают полностью.
Благодаря свойствам отношения эквивалентности, разбиение на множества единственно. Это означает, что классы, содержащие <math>\forall x,y\in X</math> либо не пересекаются, либо совпадают полностью.
 
Часто отношение эквивалентности вводят следующим образом. Пусть <math>X</math> - — [[Векторное_пространство|линейное пространство]], а <math>L</math> - — некоторое линейное подпространство. Тогда два элемента <math>x,\;y\in X</math> называютсятаких, что эквивалентными(<math>x-y\oversetin {L}{\sim} y</math>), называются '''эквивалентными''', это еслиобозначается <math>x-y\in ,\overset{L}{\sim}\,y</math>. Получаемое в результате факторизации пространство <math>X/\!,\overset {L}{\sim}</math> называют '''факторпространством по подпространству&nbsp;L''' <math>L</math>. Если <math>X</math> - — [[конечномерное пространство]], то фактор-пространствофакторпространство <math>X/\!,\overset {L}{\sim}</math> также является конечномерным и <math>\dim X/\!,\overset {L}{\sim}=\dim X-\dim L</math>.
 
Часто отношение эквивалентности вводят следующим образом. Пусть <math>X</math> - [[Векторное_пространство|линейное пространство]], а <math>L</math> - некоторое линейное подпространство. Тогда два элемента <math>x,y\in X</math> называются эквивалентными(<math>x\overset {L}{\sim} y</math>) если <math>x-y\in L</math>. Получаемое в результате факторизации пространство <math>X/\!\overset {L}{\sim}</math>называют '''факторпространством по подпространству&nbsp;L'''. Если <math>X</math> - [[конечномерное пространство]], то фактор-пространство <math>X/\!\overset {L}{\sim}</math> также является конечномерным и <math>dim X/\!\overset {L}{\sim}=dim X-dim L</math>.
 
== Примеры ==
Строка 17 ⟶ 14 :
=== Примеры ===
* [[Проективная плоскость|Проективную плоскость]] <math>\R P^2</math> можно определить как факторпространство [[Сфера#Двумерная сфера (в трёхмерном пространстве)|двумерной сферы]], задав отношение эквивалентности <math>(x,\;y,\;z)\sim(-x,\;-y,\;-z)</math>.
* [[Бутылка Клейна|Бутылку Клейна]] можно представить как факторпространство цилиндра <math>S^1\times [0,\;1]</math> по отношению эквивалентности <math>(\varphi,\;0)\sim(-\varphi,\;1)</math> (<math>\varphi\in[-\pi,\;\pi]</math> — угловая координата на окружности).
 
== См. также ==