Конечномерное пространство: различия между версиями
| [непроверенная версия] | [непроверенная версия] |
Содержимое удалено Содержимое добавлено
Quijote (обсуждение | вклад) мНет описания правки |
м little fixes, typos fixed: <br/> → <br /> (2) |
||
Строка 11:
Иными словами, всякий элемент <math>x</math> конечномерного пространства <math>X</math> представим единственным образом в виде
: <math>x=a_1 e_1+a_2 e_2+...+a_n e_n,</math>
<math>a_1, a_2,...,a_n\in \mathbb P</math> где <math>\mathbb P</math> — [[
* Все базисы конечномерного пространства состоят из одинакового количества элементов. Это свойство даёт корректность определения '''размерности пространства'''.
* Пусть X — конечномерное пространство и <math>\{x_1, x_2,...,x_k\}</math> — [[Линейная независимость|линейно-независимая]] система элементов. Тогда эту систему всегда можно дополнить до [[базис]]а.
* Все конечномерные пространства одинаковой размерности изоморфны друг другу.
* В любом конечномерном пространстве можно ввести [[скалярное произведение]]. Например, в пространстве <math>X</math> с фиксированным базисом, размерности <math>n</math>, можно ввести скалярное произведение по правилу:<br /> <math>\forall x_1,x_2\in X, (x_1, x_2)=\sum_{k=1}^n a_k\cdot b_k</math>, где <math>\{a_k\},\{b_k\}</math> — компоненты векторов <math>x_1</math> и <math>x_2</math> соответственно.<br /> Из этого свойства следует, что в конечномерном пространстве можно ввести [[
** <math>X</math> — [[рефлексивное пространство]]<ref>Это факт можно получить как при помощи [[гильбертово пространство|теоремы Рисса-Фреше]], так и прямыми выкладками, без использования теории гильбертовых пространств.</ref>.
** Если пространство <math>X^*</math> — [[Сопряжённое пространство|сопряжённое]] к некоторому конечномерному пространству <math>X</math>, конечномерно и его размерность совпадает с размерностью <math>X</math>.
Строка 22:
* Все нормы в конечномерном пространстве эквивалентны. Сходимость в конечномерном пространстве эквивалентна покоординатной сходимости.
* Каждый [[линейный непрерывный оператор]] в конечномерном пространстве можно [[матрица (математика)#Матрица линейного оператора|представить в виде матрицы]].
* Пространство <math>X</math> является конечномерным тогда и только тогда, когда [[Тождественный оператор|единичный оператор]] <math>I: X\rightarrow X</math> является [[
* Пространство <math>X</math> является конечномерным тогда и только тогда, когда найдется действующий над <math>X</math> обратимый [[
* Пространство <math>X</math> является конечномерным тогда и только тогда, когда единичный шар в <math> X</math> предкомпактен. Это свойство можно переформулировать следующим образом: пространство <math>X</math> является конечномерным тогда и только тогда, когда любое ограниченное в <math> X</math> множество предкомпактно.
* Всякий линейный оператор <math>A:X\rightarrow Y</math>, определенный в конечномерном пространстве <math>X</math> является [[
* В конечномерном пространстве, каждый оператор является [[унитарный оператор|унитарным]] тогда и только тогда, когда он изометрический, то есть сохраняет скалярное произведение.
Строка 37:
Если ввести норму <math>\|x\|_2</math> и скалярное произведение <math>(x,y) = \sqrt {\sum_{i=1}^n{x_i y_i}},</math> то пространство будет евклидовым.
* <math>P^n</math> -пространство всех многочленов степени не выше <math>n</math>. Размерность этого пространства <math>n</math>. Многочлены <math>1, x, x^2,..., x^n</math> образуют в нём базис.
* Пусть <math>X</math> - произвольное линейное пространство и пусть <math>\{x_1,x_2,...,x_n\}</math> некоторая [[
== Примечания ==
{{примечания}}
Строка 62:
}}
* {{книга
|автор = [[Шилов,
|название = Математический анализ. Специальный курс
|издание = 2-е
Строка 71:
}}
[[Категория:Линейная алгебра]]
[[Категория:Функциональный анализ]]
{{rq|sources|iwiki}}
| |||